1. Seja f(x)=\frac{3 x+1}{x-1}. Determine todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto (0,0). Resp.: y=-9 x ; y=-x
  2. Sejam f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável até 2^{\underline{\mathrm{a}}} ordem \mathrm{e} g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por g(x)=x f(x+1+\operatorname{sen} 2 x). Calcule g^{\prime \prime}(x). Supondo f^{\prime}(1)=-2, calcule g^{\prime \prime}(0).

Passo 1

A questão 13 pede as retas tangentes ao gráfico de
f(x)=\frac{3x+1}{\,x-1\,}
que passam por (0,0). Para isso vamos usar a fórmula da reta tangente em x=a:
y = f'(a)\,(x-a) + f(a),
e impor que ela passe por (0,0).
A questão 14 define
g(x)=x\,f\bigl(x+1+\operatorname{sen}(2x)\bigr)
com f duas vezes derivável, e pede g''(x) e depois g''(0) sabendo que f'(1)=-2. Vamos aplicar regra do produto e cadeia.

Passo 2

Derivada de
f(x)=\frac{3x+1}{x-1}
pela regra do quociente:
f'(x) =\frac{(3)(x-1) - (3x+1)(1)}{(x-1)^2} =\frac{3x-3-3x-1}{(x-1)^2} =\frac{-4}{(x-1)^2}.
Para uma reta tangente em x=a passar por (0,0) vale
0 = f'(a)\,(0 - a) + f(a) \;\Longrightarrow\;-a\,f'(a) + f(a)=0.

Passo 3

Substituindo f(a) e f'(a):
f(a)=\frac{3a+1}{a-1}, \quad f'(a)=-\frac{4}{(a-1)^2}.
A condição -a\,f'(a)+f(a)=0 vira
-a\Bigl(-\frac{4}{(a-1)^2}\Bigr) +\frac{3a+1}{a-1}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{4a}{(a-1)^2}+\frac{3a+1}{a-1}=0.
Multiplicando por (a-1)^2 obtemos
4a + (3a+1)(a-1)=0 \;\Longrightarrow\; 3a^2 +2a -1=0 \;\Longrightarrow\; a=\frac{1}{3}\text{ ou }a=-1.

Passo 4

Para a=\tfrac13:
f'\bigl(\tfrac13\bigr) =-\frac{4}{(\tfrac13-1)^2} =-\frac{4}{(\!-\,\tfrac23)^2} =-\frac{4}{4/9} =-9,
e a reta é y=-9x (ela já passa em (0,0)).
Para a=-1:
f'(-1)=-\frac{4}{(-1-1)^2}=-\frac{4}{4}=-1,
e a reta é y=-x.

Passo 5

Agora g(x)=x\,f\bigl(u(x)\bigr) com u(x)=x+1+\operatorname{sen}(2x).
  1. Regra do produto:
g'(x) =f(u(x)) + x\,f'(u(x))\,u'(x).
  1. Calcular u'(x)=1+2\cos(2x).
    Logo
g'(x) =f\bigl(u(x)\bigr) + x\,f'\bigl(u(x)\bigr)\,\bigl(1+2\cos(2x)\bigr).

Passo 6

Para g''(x) derivamos cada termo:
  1. \frac{d}{dx}[\,f(u(x))\,]=f'(u(x))\,u'(x).
  2. Em x\,f'(u(x))(1+2\cos2x) aplicamos produto:
    • derivada de x é 1, sobra f'(u)(1+2\cos2x),
    • mais x vezes derivada de f'(u)(1+2\cos2x), que é f''(u)\,u'(x)\,(1+2\cos2x) + f'(u)\,(-4\sen2x).
Somando tudo:
g''(x) = f'(u)\,u' + f'(u)\,(1+2\cos2x) + x\Bigl[ f''(u)\,u'\,(1+2\cos2x) -4\,\sen2x\,f'(u) \Bigr].
Como u'=1+2\cos2x, os dois primeiros termos juntos viram
f'(u)\bigl(u'+1+2\cos2x\bigr) =2\,(1+2\cos2x)\,f'(u).
Portanto
g''(x) =2\,(1+2\cos2x)\,f'\bigl(u(x)\bigr) + x\Bigl[ (1+2\cos2x)^2\,f''\bigl(u(x)\bigr) -4\,\sen2x\,f'\bigl(u(x)\bigr) \Bigr].

Passo 7

Para g''(0):
u(0)=0+1+\sen0=1, \quad \cos0=1,\quad\sen0=0,
1+2\cos(2\cdot0)=1+2=3.
Na expressão de g''(x) o segundo termo é multiplicado por x, que em x=0 anula tudo. Então
g''(0)=2\cdot3\;f'(1)=6\,f'(1)=6\cdot(-2)=-12.

Resposta

Questão 13: as retas são
y=-9x
y=-x
Questão 14:
g''(x) =2\,(1+2\cos2x)\,f'\bigl(x+1+\sen2x\bigr) + x\Bigl[ (1+2\cos2x)^2\,f''\bigl(x+1+\sen2x\bigr) -4\,\sen2x\,f'\bigl(x+1+\sen2x\bigr) \Bigr],
e
g''(0)=-12.

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