- Seja
. Determine todas as retas tangentes ao gráfico de
que passam pelo ponto
. Resp.:
- Sejam
uma função derivável até
ordem
dada por
. Calcule
. Supondo
, calcule
.
Passo 1
A questão 13 pede as retas tangentes ao gráfico de
que passam por
. Para isso vamos usar a fórmula da reta tangente em
:
e impor que ela passe por
.
A questão 14 define
A questão 14 define
com
duas vezes derivável, e pede
e depois
sabendo que
. Vamos aplicar regra do produto e cadeia.
Passo 2
Derivada de
pela regra do quociente:
Para uma reta tangente em
passar por
vale
Passo 3
Substituindo
e
:
A condição
vira
Multiplicando por
obtemos
Passo 4
Para
:
e a reta é
(ela já passa em
).
Para :
Para
e a reta é
.
Passo 5
Agora
com
.
- Regra do produto:
- Calcular
.
Logo
Passo 6
Para
derivamos cada termo:
-
- Em
aplicamos produto: - derivada de
é 1, sobra , - mais
vezes derivada de , que é
- derivada de
Somando tudo:
Como
, os dois primeiros termos juntos viram
Portanto
Passo 7
Para
:
Na expressão de
o segundo termo é multiplicado por
, que em
anula tudo. Então
Resposta
Questão 13: as retas são
Questão 14:
e