Analise as seguintes “soluções” para a questão abaixo.
Questão. Considere a função f(x)=x|x|. Decida se f é derivável em x=0 e, em caso afirmativo, calcule f^{\prime}(0). Justifique suas afirmações.
“solução” 1. f^{\prime}(0)=0, pois f(0)=0.
“solução” 2. Como a função g(x)=|x| não é derivável em x=0, não é possível usar a regra do produto para derivar f em x=0. Logo f não é derivável em x=0.
“solução” 3. Temos f(x)=h(x) g(x), onde h(x)=x e g(x)=|x|. Assim:
como g(0)=0 e h(0)=0 então f^{\prime}(0)=0.
“solução” 4. Temos f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^{2} & , \text { se } x<0 \\\ x^{2} & , \text { se } x \geq 0\end{array}\right.. Logo \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}-0}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x=0 \mathrm{e}\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x^{2}-0}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}-x=0. Portanto \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0, ou seja f^{\prime}(0)=0.
Resp.: somente a solução 4 está correta.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a função
f(x)=x\lvert x\rvert
é derivável em x=0 e, em caso afirmativo, calcular f'(0). O conteúdo é derivada pelo limite do quociente incremental, pois em x=0 não podemos aplicar diretamente regras de derivação que exigem diferenciabilidade dos fatores.
Quando h>0, temos \tfrac{f(h)}{h}=\tfrac{h^2}{h}=h, cujo limite é 0.
Quando h<0, temos \tfrac{f(h)}{h}=\tfrac{-h^2}{h}=-h, cujo limite também é 0.
Como as duas limites laterais coincidem em 0, concluímos que f é derivável em 0 e
f'(0)=0.
Passo 3
Agora analisamos as “soluções” propostas:
Em “solução 1” afirma-se f'(0)=0 “pois f(0)=0”. É falso: saber f(0) não informa a derivada, que depende do limite do quociente incremental, não só do valor da função.
Em “solução 2” diz-se que como \lvert x\rvert não é derivável em 0, não se pode aplicar regra do produto e, portanto, f não é derivável em 0. Isso é um erro: a não diferenciabilidade de um fator não impede que o produto seja diferenciável (a regra do produto não se aplica, mas o limite pode existir mesmo assim, como vimos).
Em “solução 3” tenta-se usar a regra do produto
f'(0)=h'(0)\,g(0)+h(0)\,g'(0),
com h(x)=x e g(x)=\lvert x\rvert. Mas essa fórmula só vale se ambos h e g são deriváveis em 0; aqui g'(0) não existe, logo o uso da regra é ilegítimo, mesmo que o resultado numérico seja o “zerão” por acaso.
Portanto, soluções 1, 2 e 3 usam raciocínios inválidos.
Passo 4
Em “solução 4” a derivada em 0 é obtida diretamente pelo limite do quociente incremental em cada lado, exatamente como no Passo 2. Esse é o método correto e leva a