Encontre os números críticos da função
(d) f(x)=5 x^{2 / 3}+x^{5 / 3}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números críticos da função
f(x)=5x^{2/3}+x^{5/3}.
Conteúdo: derivadas e definição de número crítico (ponto onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe).

Passo 2

Precisamos do domínio de f e da condição de número crítico. Como temos potências fracionárias de x com denominador 3, o domínio de f é todo \mathbb{R}. Um número crítico ocorre onde
  1. \displaystyle f'(x)=0, ou
  2. \displaystyle f'(x) não existe (mas x está no domínio).

Passo 3

Calculamos f'(x) usando a regra de potência:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{m}\bigr)=m\,x^{m-1}.
Aplicando a cada termo:
f'(x) =5\cdot\frac{2}{3}\,x^{2/3-1}+\frac{5}{3}\,x^{5/3-1} =\frac{10}{3}x^{-1/3}+\frac{5}{3}x^{2/3}.

Passo 4

Para facilitar, fatoramos \displaystyle \frac{5}{3}x^{-1/3}:
f'(x) =\frac{5}{3}x^{-1/3}\Bigl(2+x\Bigr).

Passo 5

Encontramos onde f'(x)=0. A fração \tfrac{5}{3}x^{-1/3} nunca é zero, então impomos
2+x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2.

Passo 6

Verificamos onde f'(x) não existe. Como aparece x^{-1/3}, a derivada falha em x=0. Esse ponto está no domínio de f, logo é crítico por derivada indefinida.

Resposta

Os números críticos são
x=-2 \quad\text{e}\quad x=0.

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