Analise se a sentença abaixo é verdadeira ou falsa e justifique:
A área sob o gráfico de y=(x+2)^-32 para x >= 14 é 12.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a área sob o gráfico de y=(x+2)^-3/2 no intervalo x>=14. Isso envolve calcular uma integral imprópria do tipo
integral14^infty(x+2)^-tfrac32,dx
O conteúdo aqui é o cálculo de integrais impróprias e antiderivadas de potências.

Passo 2

Escrevemos a área como integral imprópria:
integral14^infty(x+2)^-tfrac32,dx
Para lidar com o infinito, substituímos x+2=u, de modo que dx=du e os limites vão de u=14+2=16 até utoinfty. A integral fica
integral16^inftyu^-tfrac32,du

Passo 3

Calculamos a antiderivada de u^-3/2. Lembrando que dduu^-1/2=-tfrac12u^-3/2, temos
integral u^-tfrac32,du = -2,u^-tfrac12 + C

Passo 4

Agora avaliamos no intervalo [16,infty):
[-2,u^-tfrac12]16^infty = limbtoinftyl(-2,b^-tfrac12r);-;l(-2,(16)^-tfrac12r) = 0 - l(-2cdottfrac14r) = tfrac12

Resposta

A sentença é verdadeira, pois a área sob o gráfico de y=(x+2)^-3/2 para x>=14 é igual a tfrac12.

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