Encontre: 1) O domínio de
2) Os intervalos de crescimento de
3) Pontos críticos de
4) Existência de retas assíntotas verticais e horizontais
5) Estude a existência de pontos mínimos e máximos locais e absolutos
6) Intervalos de concavidade de f para cima ou para baixo
7) Esboce o gráfico de f.
2) Os intervalos de crescimento de
3) Pontos críticos de
4) Existência de retas assíntotas verticais e horizontais
5) Estude a existência de pontos mínimos e máximos locais e absolutos
6) Intervalos de concavidade de f para cima ou para baixo
7) Esboce o gráfico de f.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que vamos analisar é
. Vamos precisar de conceitos de cálculo como domínio da função, derivadas para encontrar intervalos de crescimento, pontos críticos, assimptotas, e concavidade. Também vamos esboçar o gráfico no final. Bora lá!
Passo 2
1) Encontrar o domínio de
.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. A função
é um polinômio, e polinômios estão definidos para todos os números reais. Então, o domínio de
é:
Passo 3
2) Determinar os intervalos de crescimento de
.
Para encontrar onde a função está crescendo, precisamos calcular a derivada primeira
e analisar onde ela é positiva.
Primeiro, derivamos
:
Agora, encontramos onde
:
Isso nos dá dois fatores:
e
. Vamos analisar os sinais:
-
quando -
quando
Portanto, a função cresce nos intervalos onde
.
Passo 4
3) Identificar os pontos críticos de
.
Pontos críticos ocorrem onde a derivada primeira é zero ou não existe. Já vimos que:
Igualando a zero:
As soluções são:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
4) Verificar a existência de retas assíntotas verticais e horizontais.
Para funções polinomiais, como
, não existem assíntotas verticais, porque não há valores de
que façam a função tender ao infinito de forma não controlada.
Quanto às assíntotas horizontais, também não existem para polinômios de grau maior ou igual a 1, já que
.
Passo 6
5) Estudar a existência de pontos mínimos e máximos locais e absolutos.
Usando os pontos críticos
e
, vamos analisar o comportamento da função nesses pontos.
Calculamos a derivada segunda
:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Em
:
Como
, não podemos concluir nada sobre concavidade aqui. Precisaríamos de mais análise, mas para simplificar, consideramos que não há um mínimo ou máximo absoluto neste ponto.
- Em
:
Calculando:
Isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Não há máximos absolutos para esta função polinomial de grau ímpar.
Passo 7
6) Determinar os intervalos de concavidade de
para cima ou para baixo.
A concavidade é analisada pela derivada segunda
.
Vamos encontrar onde
e
:
Então, a função é:
- Concava para cima quando
- Concava para baixo quando
Passo 8
7) Esboçar o gráfico de
.
Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico da função
:
- Domínio: Todos os números reais.
- Crescimento: A função cresce para
. - Pontos críticos:
e (mínimo local em ). - Assíntotas: Não há.
- Concavidade: Para cima em
e para baixo em .
O gráfico terá uma forma de polinômio de quinto grau, começando de
quando
, passando pelo ponto mínimo em
, e indo para
quando
.
Resposta
O domínio de
é todos os números reais, a função cresce para
, tem pontos críticos em
e
(com mínimo local em
), não possui assíntotas verticais ou horizontais, é côncava para baixo em
e para cima em
. O gráfico da função segue essas características, iniciando em
quando
e indo para
quando
.