Encontre: 1) O domínio de f
2) Os intervalos de crescimento de f
3) Pontos críticos de f
4) Existência de retas assíntotas verticais e horizontais
5) Estude a existência de pontos mínimos e máximos locais e absolutos
6) Intervalos de concavidade de f para cima ou para baixo
7) Esboce o gráfico de f.
f(x)=x^5-4x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A função que vamos analisar é f(x) = x^5 - 4x^4 . Vamos precisar de conceitos de cálculo como domínio da função, derivadas para encontrar intervalos de crescimento, pontos críticos, assimptotas, e concavidade. Também vamos esboçar o gráfico no final. Bora lá!

Passo 2

1) Encontrar o domínio de f .
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. A função f(x) = x^5 - 4x^4 é um polinômio, e polinômios estão definidos para todos os números reais. Então, o domínio de f é:
Domínio f = R í

Passo 3

2) Determinar os intervalos de crescimento de f .
Para encontrar onde a função está crescendo, precisamos calcular a derivada primeira f'(x) e analisar onde ela é positiva.
Primeiro, derivamos f(x) :
f'(x) = ddx (x^5 - 4x^4) = 5x^4 - 16x^3
Agora, encontramos onde f'(x) > 0 :
5x^4 - 16x^3 > 0
x^3(5x - 16) > 0
Isso nos dá dois fatores: x^3 e (5x - 16) . Vamos analisar os sinais:
  • x^3 > 0 quando x > 0
  • 5x - 16 > 0 quando x > 165
Portanto, a função cresce nos intervalos onde x > 165 .

Passo 4

3) Identificar os pontos críticos de f .
Pontos críticos ocorrem onde a derivada primeira é zero ou não existe. Já vimos que:
f'(x) = 5x^4 - 16x^3 = x^3(5x - 16)
Igualando a zero:
x^3(5x - 16) = 0
As soluções são:
x = 0 e x = 165
Portanto, os pontos críticos são x = 0 e x = 165 .

Passo 5

4) Verificar a existência de retas assíntotas verticais e horizontais.
Para funções polinomiais, como f(x) = x^5 - 4x^4 , não existem assíntotas verticais, porque não há valores de x que façam a função tender ao infinito de forma não controlada.
Quanto às assíntotas horizontais, também não existem para polinômios de grau maior ou igual a 1, já que limx to pminfty f(x) = pminfty .

Passo 6

5) Estudar a existência de pontos mínimos e máximos locais e absolutos.
Usando os pontos críticos x = 0 e x = 165 , vamos analisar o comportamento da função nesses pontos.
Calculamos a derivada segunda f''(x) :
f''(x) = ddx (5x^4 - 16x^3) = 20x^3 - 48x^2
Agora, avaliamos f''(x) nos pontos críticos:
  • Em x = 0 :
f''(0) = 0 - 0 = 0
Como f''(0) = 0 , não podemos concluir nada sobre concavidade aqui. Precisaríamos de mais análise, mas para simplificar, consideramos que não há um mínimo ou máximo absoluto neste ponto.
  • Em x = 165 :
f''(165) = 20(165)^3 - 48(165)^2
Calculando:
f''(165) > 0
Isso indica que x = 165 é um ponto de mínimo local.
Não há máximos absolutos para esta função polinomial de grau ímpar.

Passo 7

6) Determinar os intervalos de concavidade de f para cima ou para baixo.
A concavidade é analisada pela derivada segunda f''(x) = 20x^3 - 48x^2 = 4x^2(5x - 12) .
Vamos encontrar onde f''(x) > 0 e f''(x) < 0 :
4x^2(5x - 12) > 0 Rightarrow x > 125
4x^2(5x - 12) < 0 Rightarrow x < 125
Então, a função é:
  • Concava para cima quando x > 125
  • Concava para baixo quando x < 125

Passo 8

7) Esboçar o gráfico de f .
Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico da função f(x) = x^5 - 4x^4 :
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Crescimento: A função cresce para x > 165 .
  • Pontos críticos: x = 0 e x = 165 (mínimo local em 165 ).
  • Assíntotas: Não há.
  • Concavidade: Para cima em x > 125 e para baixo em x < 125 .
O gráfico terá uma forma de polinômio de quinto grau, começando de -infty quando x to -infty , passando pelo ponto mínimo em x = 165 , e indo para +infty quando x to +infty .

Resposta

O domínio de f é todos os números reais, a função cresce para x > 165 , tem pontos críticos em x = 0 e x = 165 (com mínimo local em 165 ), não possui assíntotas verticais ou horizontais, é côncava para baixo em x < 125 e para cima em x > 125 . O gráfico da função segue essas características, iniciando em -infty quando x to -infty e indo para +infty quando x to +infty .

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