Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa e justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
A equação diferencial dada por:
Não é exata e tem fator integrante
.
A equação diferencial dada por:
Passo 1
O enunciado pede que eu analise duas sentenças sobre a equação diferencial
e decida se cada sentença é verdadeira ou falsa, justificando. As duas sentenças são:
- “Não é exata.”
- “Tem fator integrante
.”
Informações dadas que vou usar: a equação na forma diferencial
com
O que preciso fornecer: verificação da exatidão; verificação (e, se existir, identificação) de fator integrante que depende só de
; e justificar se
é fator integrante.
Passo 2
Relembre o teste de exatidão (aula rápida): uma forma diferencial
é exata em uma região se existir uma função potencial
tal que
Uma condição prática é comparar as derivadas parciais cruzadas:
Aqui vou calcular
e
.
Calcule as derivadas parciais:
Como
a condição de exatidão não vale. Portanto a afirmação “Não é exata” é correta: a equação não é exata originalmente.
Passo 3
Agora, sobre fator integrante que dependa só de
: ideia e fórmula. Se existe
tal que
é exata, então vale
Como
depende só de
, podemos escrever
Dividindo por
(assumindo
) obtemos uma ODE para
:
Esta fórmula nos dá
como função de
apenas quando o quociente do lado direito depende só de
. Vou calcular esse quociente para nossa equação.
Calcule
Esse resultado depende somente de
(bom!), então existe um fator integrante que depende só de
. A equação para
é
Resolva esta equação de primeira ordem (separação de variáveis):
Logo
Tomando a constante multiplicativa
(qualquer constante não nula serve como fator integrante), um fator integrante conveniente é
Passo 4
Verificação direta que
funciona e obtenção da solução geral (isso mostra como proceder na prova): multiplico a equação original por
:
Assim os novos coeficientes são
Calcule as derivadas parciais:
Como
, a forma é agora exata. Para encontrar o potencial
resolvemos
Integro em
:
onde
é função arbitrária de
. Agora imponho
:
Isto dá
, logo
é constante. A solução implícita geral é
ou seja
Passo 5
Agora verifico diretamente a afirmação específica sobre
. Se essa função fosse um fator integrante dependente só de
, deveria satisfazer a condição derivada em Passo 3:
Calculo
para
. Temos
logo
Compare os dois lados: a condição exige
, mas para
obtemos
. São funções diferentes (exceto possivelmente em pontos isolados), então
não satisfaz a condição. Para confirmar, posso também checar diretamente se
com essa
; os cálculos mostram que essas derivadas não coincidem, portanto não é fator integrante.
Conclusão: existe fator integrante dependente só de
, mas é
(até constante multiplicativa), não
.
Resposta
Verdadeiro.
Falso.
Falso.