Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa e justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
A equação diferencial dada por:
\left(2 x^{3}+y\right) d x-x d y=0
Não é exata e tem fator integrante m(x)=\frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede que eu analise duas sentenças sobre a equação diferencial
\left(2 x^{3}+y\right) dx - x\, dy = 0
e decida se cada sentença é verdadeira ou falsa, justificando. As duas sentenças são:
  1. “Não é exata.”
  2. “Tem fator integrante m(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}.”
Informações dadas que vou usar: a equação na forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com
M(x,y)=2x^{3}+y,\qquad N(x,y)=-x.
O que preciso fornecer: verificação da exatidão; verificação (e, se existir, identificação) de fator integrante que depende só de x; e justificar se m(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}} é fator integrante.

Passo 2

Relembre o teste de exatidão (aula rápida): uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata em uma região se existir uma função potencial \psi(x,y) tal que
\psi_x=M\quad\text{e}\quad \psi_y=N.
Uma condição prática é comparar as derivadas parciais cruzadas:
\text{se a forma é }C^1,\text{ então exata } \Longrightarrow \; M_y = N_x.éã
Aqui vou calcular M_y e N_x.
Calcule as derivadas parciais:
M_y=\frac{\partial}{\partial y}(2x^{3}+y)=1,
N_x=\frac{\partial}{\partial x}(-x)=-1.
Como
M_y = 1 \neq -1 = N_x,
a condição de exatidão não vale. Portanto a afirmação “Não é exata” é correta: a equação não é exata originalmente.

Passo 3

Agora, sobre fator integrante que dependa só de x: ideia e fórmula. Se existe \mu(x) tal que \mu(x)M\,dx+\mu(x)N\,dy é exata, então vale
(\mu M)_y=(\mu N)_x.
Como \mu depende só de x, podemos escrever
\mu M_y = \mu' N + \mu N_x.
Dividindo por \mu (assumindo \mu\neq0) obtemos uma ODE para \mu:
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{M_y-N_x}{N}.
Esta fórmula nos dá \dfrac{\mu'}{\mu} como função de x apenas quando o quociente do lado direito depende só de x. Vou calcular esse quociente para nossa equação.
Calcule
\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{1-(-1)}{-x}=\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}.
Esse resultado depende somente de x (bom!), então existe um fator integrante que depende só de x. A equação para \mu é
\frac{\mu'}{\mu}=-\frac{2}{x}.
Resolva esta equação de primeira ordem (separação de variáveis):
\frac{d\mu}{\mu}=-2\,\frac{dx}{x}\quad\Longrightarrow\quad \ln|\mu|=-2\ln|x|+C.
Logo
\mu(x)=C\,x^{-2}.
Tomando a constante multiplicativa C=1 (qualquer constante não nula serve como fator integrante), um fator integrante conveniente é
\mu(x)=\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Verificação direta que \mu(x)=\dfrac{1}{x^{2}} funciona e obtenção da solução geral (isso mostra como proceder na prova): multiplico a equação original por \mu:
\frac{1}{x^{2}}(2x^{3}+y)\,dx+\frac{1}{x^{2}}(-x)\,dy=0.
Assim os novos coeficientes são
\tilde M(x,y)=\frac{2x^{3}+y}{x^{2}}=2x+y x^{-2},
\tilde N(x,y)=\frac{-x}{x^{2}}=-x^{-1}.
Calcule as derivadas parciais:
\tilde M_y=\frac{\partial}{\partial y}(2x+y x^{-2})=x^{-2},
\tilde N_x=\frac{\partial}{\partial x}(-x^{-1})=x^{-2}.
Como \tilde M_y=\tilde N_x, a forma é agora exata. Para encontrar o potencial \psi(x,y) resolvemos
\psi_x=\tilde M=2x+y x^{-2}.
Integro em x:
\psi(x,y)=\int (2x)\,dx + \int y x^{-2}\,dx = x^{2} -\frac{y}{x} + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y. Agora imponho \psi_y=\tilde N:
\psi_y = -\frac{1}{x}+h'(y) \stackrel{!}{=}-\frac{1}{x}.
Isto dá h'(y)=0, logo h é constante. A solução implícita geral é
\psi(x,y)=x^{2}-\frac{y}{x}=C,
ou seja
x^{2}-\frac{y}{x}=C.

Passo 5

Agora verifico diretamente a afirmação específica sobre m(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}. Se essa função fosse um fator integrante dependente só de x, deveria satisfazer a condição derivada em Passo 3:
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{M_y-N_x}{N}=-\frac{2}{x}.
Calculo \dfrac{\mu'}{\mu} para \mu(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}. Temos
\mu'(x)=-2\,(x+1)^{-3},
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\frac{\mu'}{\mu}=\frac{-2\,(x+1)^{-3}}{(x+1)^{-2}}=-\frac{2}{x+1}.
Compare os dois lados: a condição exige -\dfrac{2}{x}, mas para \mu(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}} obtemos -\dfrac{2}{x+1}. São funções diferentes (exceto possivelmente em pontos isolados), então \mu(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}} não satisfaz a condição. Para confirmar, posso também checar diretamente se (\mu M)_y=(\mu N)_x com essa \mu; os cálculos mostram que essas derivadas não coincidem, portanto não é fator integrante.
Conclusão: existe fator integrante dependente só de x, mas é \mu(x)=\dfrac{1}{x^{2}} (até constante multiplicativa), não \dfrac{1}{(x+1)^{2}}.

Resposta

Verdadeiro.
Falso.

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