Considere as equações a seguir, identifique e resolva as exatas. Já as equações não exatas, apenas identifique-as.
\left(3 y^{2}+10 x y^{2}\right) d x+\left(6 x y-2+10 x^{2} y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma de forma diferencial:
\left(3 y^{2}+10 x y^{2}\right)\,dx+\left(6 x y-2+10 x^{2} y\right)\,dy=0.
Peço para:
  • identificar se a equação é exata ou não;
  • caso seja exata, resolvê‑la (achar a solução geral);
  • caso não seja exata, apenas identificá‑la como não exata.
As informações relevantes são as funções multiplicando dx e dy:
M(x,y)=3y^{2}+10xy^{2}, \qquad N(x,y)=6xy-2+10x^{2}y.

Passo 2

O que significa ser exata (explicação didática e prática): uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata em uma região quando existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\psi_x=M\quad\text{e}\quad\psi_y=N,
ou seja, as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui \psi_x é a derivada parcial de \psi em relação a x (tratando y como constante) e \psi_y é a derivada parcial em relação a y. Para testar exatidão, calculamos essas derivadas e comparamos.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias (cada passo mostrado):
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2}+10xy^{2}\bigr).
Trate x como constante ao derivar em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y}=6y+20xy.
Agora
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6xy-2+10x^{2}y\bigr).
Trate y como constante ao derivar em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x}=6y+20xy.

Passo 4

Comparando as duas derivadas:
\frac{\partial M}{\partial y}=6y+20xy=\frac{\partial N}{\partial x}.
Como são iguais em (pelo menos) a região onde x,y estão definidos, a forma é exata. Logo devemos encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N. O método prático é:
  1. integrar M em relação a x (tratando y como constante), obtendo \psi(x,y)=\int M\,dx + h(y), onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y;
  2. derivar essa \psi obtida em relação a y e igualar a N para encontrar h'(y);
  3. integrar h'(y) para obter h(y) e, por fim, escrever \psi(x,y)=C.

Passo 5

Integramos M em relação a x:
\int M\,dx=\int\bigl(3y^{2}+10xy^{2}\bigr)\,dx.
Como y é tratado como constante:
\int 3y^{2}\,dx = 3y^{2}\,x, \qquad \int 10xy^{2}\,dx = 10y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=5x^{2}y^{2}.
Portanto
\psi(x,y)=3xy^{2}+5x^{2}y^{2}+h(y),
onde h(y) é desconhecida por enquanto.

Passo 6

Agora derivamos \psi em relação a y e igualamos a N para achar h'(y):
\psi_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3xy^{2}+5x^{2}y^{2}+h(y)\bigr) =6xy+10x^{2}y+h'(y).
Devemos ter \psi_{y}=N, isto é
6xy+10x^{2}y+h'(y)=6xy-2+10x^{2}y.
Cancelando os termos iguais nos dois lados, fica
h'(y)=-2.

Passo 7

Integramos h'(y)=-2 em relação a y:
h(y)=\int -2\,dy = -2y + C_0,
onde C_0 é uma constante. Podemos incorporar C_0 na constante final da solução implícita. Assim a função potencial completa é
\psi(x,y)=3xy^{2}+5x^{2}y^{2}-2y.

Passo 8

A solução geral da equação exata é dada implicitamente por \psi(x,y)=C, onde C é constante arbitrária. Podemos verificar rapidamente derivando \psi:
\psi_x=3y^{2}+10xy^{2}=M,\qquad \psi_y=6xy+10x^{2}y-2=N,
confirmação feita — está correto.

Resposta

3xy^{2}+5x^{2}y^{2}-2y=C

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