Considere as equações a seguir, identifique e resolva as exatas. Já as equações não exatas, apenas identifique-as.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma de forma diferencial:
Peço para:
- identificar se a equação é exata ou não;
- caso seja exata, resolvê‑la (achar a solução geral);
- caso não seja exata, apenas identificá‑la como não exata.
As informações relevantes são as funções multiplicando
e
:
Passo 2
O que significa ser exata (explicação didática e prática): uma equação diferencial na forma
é exata em uma região quando existe uma função potencial
tal que
ou seja, as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
. Para testar exatidão, calculamos essas derivadas e comparamos.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais necessárias (cada passo mostrado):
Trate
como constante ao derivar em relação a
:
Agora
Trate
como constante ao derivar em relação a
:
Passo 4
Comparando as duas derivadas:
Como são iguais em (pelo menos) a região onde
estão definidos, a forma é exata. Logo devemos encontrar uma função potencial
tal que
e
. O método prático é:
- integrar
em relação a (tratando como constante), obtendo , onde é uma “constante” de integração que pode depender de ; - derivar essa
obtida em relação a e igualar a para encontrar ; - integrar
para obter e, por fim, escrever .
Passo 5
Integramos
em relação a
:
Como
é tratado como constante:
Portanto
onde
é desconhecida por enquanto.
Passo 6
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a
para achar
:
Devemos ter
, isto é
Cancelando os termos iguais nos dois lados, fica
Passo 7
Integramos
em relação a
:
onde
é uma constante. Podemos incorporar
na constante final da solução implícita. Assim a função potencial completa é
Passo 8
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
, onde
é constante arbitrária. Podemos verificar rapidamente derivando
:
confirmação feita — está correto.