Analise a série
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa série que é
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries infinitas e como determinar se elas convergem ou divergem. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teste da Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é uma série infinita. Basicamente, é a soma de uma sequência de termos que vai até o infinito. No nosso caso, o termo geral da série é
.
Passo 3
Agora, para saber se essa série converge ou não, vamos usar o Teste da Integral. Esse teste funciona assim: se a integral da função correspondente ao termo geral da série, de 1 até o infinito, for finita (ou seja, tiver um valor limitado), então a série converge. Se a integral for infinita, a série diverge.
Passo 4
Vamos montar a integral correspondente ao nosso termo geral:
Precisamos calcular essa integral para ver se ela é finita ou não.
Passo 5
Para resolver a integral
, podemos usar integração por partes. Vamos escolher:
-
⇒ -
⇒
Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Continuando:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão entre 1 e
:
Quando
:
-
(já que o denominador cresce mais rápido que o numerador) -
Quando
:
Então:
A integral vale 4, que é um número finito.
Resposta
Como a integral
é finita, pelo Teste da Integral, a série
converge.