Analise a série sumn=1^infty ln (n)n^32

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa série que é sumn=1^infty ln(n)n^32. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries infinitas e como determinar se elas convergem ou divergem. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é uma série infinita. Basicamente, é a soma de uma sequência de termos que vai até o infinito. No nosso caso, o termo geral da série é ln(n)n^32.

Passo 3

Agora, para saber se essa série converge ou não, vamos usar o Teste da Integral. Esse teste funciona assim: se a integral da função correspondente ao termo geral da série, de 1 até o infinito, for finita (ou seja, tiver um valor limitado), então a série converge. Se a integral for infinita, a série diverge.

Passo 4

Vamos montar a integral correspondente ao nosso termo geral:
integral1^infty ln(x)x^32 , dx
Precisamos calcular essa integral para ver se ela é finita ou não.

Passo 5

Para resolver a integral integral ln(x)x^32 , dx, podemos usar integração por partes. Vamos escolher:
  • u = ln(x) du = 1x , dx
  • dv = x^-32 , dx v = x^-12-12 = -2x^-12
Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo:
integral ln(x)x^32 , dx = -2 ln(x) cdot x^-12 + 2 integral x^-32 , dx
Continuando:
-2 ln(x) cdot x^-12 + 2 cdot ( x^-12-12 ) = -2 ln(x)raizx - 4 1raizx

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão entre 1 e infty:
[ -2 ln(x)raizx - 4 1raizx ]1^infty
Quando x to infty:
  • ln(x)raizx to 0 (já que o denominador cresce mais rápido que o numerador)
  • 1raizx to 0
Quando x = 1:
  • ln(1) = 0
  • 1raiz1 = 1
Então:
(0 - 0) - (0 - 4 cdot 1) = 0 - (-4) = 4
A integral vale 4, que é um número finito.

Resposta

Como a integral integral1^infty ln(x)x^32 , dx é finita, pelo Teste da Integral, a série sumn=1^infty ln(n)n^32 converge.

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