Seja
e considere a função
, com
. Determine dois pontos
e
de
tais que
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
definido por
. Isso significa que
é a região no plano onde
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de 0 até
.
A função que estamos analisando é
. A tarefa é encontrar dois pontos
e
dentro de
tal que
seja o menor valor da função em
e
seja o maior valor, ou seja, queremos identificar os extremos da função dentro da região
.
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo multivariável, especificamente encontrar pontos críticos e analisar as fronteiras da região
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
dentro da região
. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Substituindo
na equação
, temos
.
Então, o único ponto crítico dentro de
é
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar a função
neste ponto crítico:
Esse é um dos valores que precisamos considerar para determinar os extremos da função em
.
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar os valores da função ao longo das fronteiras de
. As fronteiras são onde pelo menos uma das restrições é igual a um valor limite. No nosso caso, as fronteiras são:
-
com (apenas o ponto , que já avaliamos). -
com . -
com . -
com .
Vamos analisar cada uma dessas fronteiras.
Passo 5
Fronteira 1:
Como e
, já avaliamos esse ponto:
.
Como
Fronteira 2:
Aqui, e
varia de 0 a 1. A função fica:
Aqui,
Essa é uma função linear em
. Para encontrar seus valores extremos, avaliamos nos extremos do intervalo de
:
- Quando
:
- Quando
:
Então, nesta fronteira,
varia de -1 a 1.
Passo 6
Fronteira 3:
Aqui, e
varia de 0 a 1. A função fica:
Aqui,
Essa é uma função quadrática em
. Seus valores variam de:
- Quando
:
- Quando
:
Então, nesta fronteira,
varia de 0 a 1.
Passo 7
Fronteira 4:
Aqui, e
varia de 0 a 1. Substituindo na função:
Aqui,
Queremos encontrar os valores extremos dessa função no intervalo
. Para isso, podemos derivar em relação a
e igualar a zero:
Igualando a zero:
Então,
ou
.
Vamos avaliar
nesses pontos:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
Então, nesta fronteira,
varia de -1 a
.
Passo 8
Agora, vamos reunir todos os valores que encontramos:
- Ponto crítico:
- Fronteira
: varia de -1 a 1 - Fronteira
: varia de 0 a 1 - Fronteira
: varia de -1 a
O menor valor de
é -1, que ocorre em
e também em alguns pontos na fronteira
. O maior valor é 1, que ocorre em
.
Resposta
Os pontos que satisfazem
para todo
são: