Seja D=(x, y) in R^2 / 0 <= x <= 1 ; 0 <= y <= x^2 e considere a função f: D R, com f(x, y)=x^2-2 x y. Determine dois pontos P1 e P2 de D tais que f(P1) <= f(x, y) <= f(P2), para todo (x, y) in D.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto D definido por D = (x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1 ; 0 <= y <= x^2 . Isso significa que D é a região no plano onde x varia de 0 a 1 e, para cada x , y varia de 0 até x^2 .
A função que estamos analisando é f(x, y) = x^2 - 2xy . A tarefa é encontrar dois pontos P1 e P2 dentro de D tal que f(P1) seja o menor valor da função em D e f(P2) seja o maior valor, ou seja, queremos identificar os extremos da função dentro da região D .
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo multivariável, especificamente encontrar pontos críticos e analisar as fronteiras da região D .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função f(x, y) = x^2 - 2xy dentro da região D . Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a x e y são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2x - 2y
partial fpartial y = -2x
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
2x - 2y = 0 Rightarrow y = x
-2x = 0 Rightarrow x = 0
Substituindo x = 0 na equação y = x , temos y = 0 .
Então, o único ponto crítico dentro de D é (0, 0) .

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função f neste ponto crítico:
f(0, 0) = 0^2 - 2 times 0 times 0 = 0
Esse é um dos valores que precisamos considerar para determinar os extremos da função em D .

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar os valores da função ao longo das fronteiras de D . As fronteiras são onde pelo menos uma das restrições é igual a um valor limite. No nosso caso, as fronteiras são:
  1. x = 0 com 0 <= y <= 0 (apenas o ponto (0, 0) , que já avaliamos).
  2. x = 1 com 0 <= y <= 1 .
  3. y = 0 com 0 <= x <= 1 .
  4. y = x^2 com 0 <= x <= 1 .
Vamos analisar cada uma dessas fronteiras.

Passo 5

Fronteira 1: x = 0
Como x = 0 e y = 0 , já avaliamos esse ponto: f(0, 0) = 0 .
Fronteira 2: x = 1
Aqui, x = 1 e y varia de 0 a 1. A função fica:
f(1, y) = 1^2 - 2 times 1 times y = 1 - 2y
Essa é uma função linear em y . Para encontrar seus valores extremos, avaliamos nos extremos do intervalo de y :
  • Quando y = 0 :
f(1, 0) = 1 - 2 times 0 = 1
  • Quando y = 1 :
f(1, 1) = 1 - 2 times 1 = -1
Então, nesta fronteira, f varia de -1 a 1.

Passo 6

Fronteira 3: y = 0
Aqui, y = 0 e x varia de 0 a 1. A função fica:
f(x, 0) = x^2 - 2 times x times 0 = x^2
Essa é uma função quadrática em x . Seus valores variam de:
  • Quando x = 0 :
f(0, 0) = 0^2 = 0
  • Quando x = 1 :
f(1, 0) = 1^2 = 1
Então, nesta fronteira, f varia de 0 a 1.

Passo 7

Fronteira 4: y = x^2
Aqui, y = x^2 e x varia de 0 a 1. Substituindo na função:
f(x, x^2) = x^2 - 2x times x^2 = x^2 - 2x^3 = x^2(1 - 2x)
Queremos encontrar os valores extremos dessa função no intervalo x in [0, 1] . Para isso, podemos derivar em relação a x e igualar a zero:
ddx [x^2(1 - 2x)] = 2x(1 - 2x) + x^2(-2) = 2x - 4x^2 - 2x^2 = 2x - 6x^2
Igualando a zero:
2x - 6x^2 = 0 Rightarrow 2x(1 - 3x) = 0
Então, x = 0 ou x = 13 .
Vamos avaliar f nesses pontos:
  • Quando x = 0 :
f(0, 0) = 0
  • Quando x = 13 :
f(13, (13)^2) = (13)^2 - 2 times 13 times (13)^2 = 19 - 2 times 13 times 19 = 19 - 227 = 327 - 227 = 127
  • Quando x = 1 :
f(1, 1) = 1 - 2 times 1 times 1 = -1
Então, nesta fronteira, f varia de -1 a 127 .

Passo 8

Agora, vamos reunir todos os valores que encontramos:
  • Ponto crítico: f(0, 0) = 0
  • Fronteira x = 1 : f varia de -1 a 1
  • Fronteira y = 0 : f varia de 0 a 1
  • Fronteira y = x^2 : f varia de -1 a 127
O menor valor de f é -1, que ocorre em (1, 1) e também em alguns pontos na fronteira y = x^2 . O maior valor é 1, que ocorre em (1, 0) .

Resposta

Os pontos que satisfazem f(P1) <= f(x, y) <= f(P2) para todo (x, y) in D são:
P1 = (1, 1) com f(P1) = -1
P2 = (1, 0) com f(P2) = 1

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