Analise a série
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa série
. Aqui, estamos lidando com uma série infinita, que é basicamente uma soma de termos que vai até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre fatoriais (como
) e séries convergentes. Vamos dividir isso em partes para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série:
. O fatorial de
(
) é o produto de todos os números inteiros de 1 até
. Por exemplo,
. Perceba que, conforme
aumenta,
cresce bem rápido.
Passo 3
Agora, vamos simplificar o termo
. Podemos escrever
como
. Mas uma forma melhor aqui é notar que
. Isso é útil porque transforma nosso termo em uma diferença de dois termos fatoriais.
Passo 4
Com essa simplificação, a série passa a ser:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos sucessivos.
Passo 5
Vamos ver como isso funciona somando alguns termos:
Observe que
cancela com
,
cancela com
e assim por diante. Isso deixa apenas o primeiro termo
e o último termo que vai se aproximando de zero conforme
tende ao infinito.
Passo 6
Então, somando todos os termos, a série simplifica para:
Isso porque todos os outros termos se cancelam e o termo final se aproxima de zero.
Resposta
A série
converge e a sua soma é igual a 1.