Analise a série sumn=2^infty n-1n!

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa série sumn=2^infty n-1n!. Aqui, estamos lidando com uma série infinita, que é basicamente uma soma de termos que vai até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre fatoriais (como n!) e séries convergentes. Vamos dividir isso em partes para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série: n-1n!. O fatorial de n ( n!) é o produto de todos os números inteiros de 1 até n. Por exemplo, 4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24. Perceba que, conforme n aumenta, n! cresce bem rápido.

Passo 3

Agora, vamos simplificar o termo n-1n!. Podemos escrever n-1 como n - 1 = n cdot 1 - 1. Mas uma forma melhor aqui é notar que n-1n! = nn! - 1n! = 1(n-1)! - 1n!. Isso é útil porque transforma nosso termo em uma diferença de dois termos fatoriais.

Passo 4

Com essa simplificação, a série passa a ser:
sumn=2^infty ( 1(n-1)! - 1n! )
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos sucessivos.

Passo 5

Vamos ver como isso funciona somando alguns termos:
n=2: & 11! - 12! n=3: & 12! - 13! n=4: & 13! - 14! & vdots
Observe que 12! cancela com -12!, 13! cancela com -13! e assim por diante. Isso deixa apenas o primeiro termo 11! e o último termo que vai se aproximando de zero conforme n tende ao infinito.

Passo 6

Então, somando todos os termos, a série simplifica para:
sumn=2^infty ( 1(n-1)! - 1n! ) = 11! = 1
Isso porque todos os outros termos se cancelam e o termo final se aproxima de zero.

Resposta

A série sumn=2^infty n-1n! converge e a sua soma é igual a 1.

Exercícios relacionados