Mostre que a sequência Xn=(n!)^1nn converge para 1e DICA: Use que forall n in N, e n^n e^-n<n!<e n^n+1 e^-n

Passo 1

O enunciado define a sequência
Xn=(n!)^1/nn
e quer mostrar que Xnto tfrac1e. O conteúdo é limite de sequência e aplicação do teorema do sanduíche (desigualdade do aperto). Vamos usar a dica
forall ninN, e,n^ne^-n<n!<e,n^n+1e^-n

Passo 2

Começamos aplicando a raiz n-ésima em cada membro da desigualdade. Como todos os termos são positivos, a operação preserva as desigualdades:
l(e,n^ne^-nr)^1/n;<;(n!)^1/n;<;l(e,n^n+1e^-nr)^1/n

Passo 3

Agora calculamos cada raiz separadamente. Para o primeiro termo:
l(e,n^ne^-nr)^1/n = e^1/n;n^n/n;e^-n/n = e^1/n;n;e^-1
Para o terceiro termo:
l(e,n^n+1e^-nr)^1/n = e^1/n;n^(n+1)/n;e^-1 = e^1/n;n;n^1/n;e^-1

Passo 4

Dividindo tudo por n para chegar em Xn, obtemos
e^1/ne^-1 ;<; (n!)^1/nn ;<; e^1/nn^1/ne^-1,
ou seja
e^-1+1/n ;<; Xn ;<; e^-1+1/n,n^1/n

Passo 5

Basta agora observar que
limntoinftye^1/n=e^0=1, limntoinftyn^1/n=1
Logo os limites das duas bordas são
limntoinftye^-1+1/n=e^-1, limntoinftye^-1+1/nn^1/n=e^-1

Passo 6

Pelo teorema do sanduíche, como Xn fica “espremido” entre duas sequências que tendem a e^-1, concluímos que
limntoinftyXn=1e

Resposta

1e

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