Analise a série sum (-1)^nn

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty(-1)^nn
ou seja, estudar convergência (condicional ou absoluta) e, se possível, encontrar seu valor. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas, o teste de convergência absoluta e a expansão em série de Taylor do logaritmo.

Passo 2

Para aplicar o teste de Leibniz, note que os termos gerais são
an = (-1)^nn
Temos que:
  1. A sequência l|anr|=1/n é positiva, decrescente e
limntoinfty1n = 0
  1. O sinal alterna por causa do fator (-1)^n.
    Pelo teste de Leibniz, essas condições garantem que a série converge (porém não diz ainda nada sobre convergência absoluta).

Passo 3

Analisando a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyl|anr| =sumn=1^infty1n
Essa é a série harmônica, que é conhecida por divergir. Logo, nossa série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Passo 4

Para obter o valor da soma, lembramos da expansão em série de Taylor válida para -1<x<=1:
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n+1,x^nn
Tomando x=1, obtemos
ln 2 = sumn=1^infty(-1)^n+1,1n
Mas queremos sum(-1)^n/n. Note que
sumn=1^infty(-1)^nn =-sumn=1^infty(-1)^n+1,1n =-ln 2

Resposta

A série converge condicionalmente (não absolutamente) e
sumn=1^infty(-1)^nn = -ln 2

Exercícios relacionados