ou seja, estudar convergência (condicional ou absoluta) e, se possível, encontrar seu valor. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas, o teste de convergência absoluta e a expansão em série de Taylor do logaritmo.
Passo 2
Para aplicar o teste de Leibniz, note que os termos gerais são
Temos que:
A sequência é positiva, decrescente e
limntoinfty1n = 0
O sinal alterna por causa do fator (-1)^n.
Pelo teste de Leibniz, essas condições garantem que a série converge (porém não diz ainda nada sobre convergência absoluta).
Passo 3
Analisando a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyl|anr| =sumn=1^infty1n
Essa é a série harmônica, que é conhecida por divergir. Logo, nossa série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.
Passo 4
Para obter o valor da soma, lembramos da expansão em série de Taylor válida para -1<x<=1: