Analise a série sum (2 n)!n!n!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=0^infty (2n)!n!,n!
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (2n)!n!,n!
e aplicamos o teste da razão, isto é, calculamos
an+1an

Passo 3

Começamos por escrever
an+1 = (2(n+1))!(n+1)!,(n+1)! = (2n+2)!(n+1)!,(n+1)!
Logo,
an+1an = (2n+2)!(n+1)!,(n+1)!(2n)!n!,n! = (2n+2)!(2n)!,n!,n!(n+1)!,(n+1)! = (2n+2)(2n+1)(n+1)^2

Passo 4

Calculamos o limite da razão:
limntoinfty (2n+2)(2n+1)(n+1)^2 = limntoinfty 4n^2 +6n +2n^2 +2n +1 = 4
Como esse limite é maior que 1, o teste da razão conclui que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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