Use soma de Riemann (definição de integral vista em aula) para calcular
Dica: Lembre-se que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral de
de
a
usando a soma de Riemann. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral. Para resolver, vamos precisar dividir o intervalo em pequenas partes, somar as áreas dessas partes e usar algumas fórmulas de somatória que a dica nos deu.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. Basicamente, a soma de Riemann é uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo o intervalo em subintervalos menores, calculando a área de retângulos em cada subintervalo e somando tudo isso.
Passo 3
Vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, que chamaremos de
, é dada por:
Passo 4
Agora, escolhemos um ponto em cada subintervalo para avaliar a função. Vou escolher o ponto direito de cada subintervalo, que fica em:
Passo 5
A soma de Riemann fica então:
Substituindo
por
, temos:
Passo 6
Vamos expandir os termos dentro da soma:
E
Então, a soma fica:
Passo 7
Simplificando os termos:
Passo 8
Agora, separamos as somas:
Utilizando as fórmulas da dica:
Substituindo:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos:
Simplificando:
Passo 10
Agora vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
O valor da integral é
.