(2,0) Use soma de Riemann (definição de integral vista em aula) para calcular
integral-1^0(x^2+x) d x
Dica: Lembre-se que sumj=1^n j=n(n+1)2 e sumj=1^n j^2=n(n+1)(2 n+1)6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral de x^2 + x de -1 a 0 usando a soma de Riemann. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral. Para resolver, vamos precisar dividir o intervalo em pequenas partes, somar as áreas dessas partes e usar algumas fórmulas de somatória que a dica nos deu.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. Basicamente, a soma de Riemann é uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo o intervalo em subintervalos menores, calculando a área de retângulos em cada subintervalo e somando tudo isso.

Passo 3

Vamos dividir o intervalo [-1, 0] em n subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, que chamaremos de De<a x, é dada por:
De<a x = 0 - (-1)n = 1n

Passo 4

Agora, escolhemos um ponto em cada subintervalo para avaliar a função. Vou escolher o ponto direito de cada subintervalo, que fica em:
xj = -1 + j De<a x para j = 1, 2, dots, n

Passo 5

A soma de Riemann fica então:
sumj=1^n ( xj^2 + xj ) De<a x
Substituindo xj por -1 + j De<a x, temos:
sumj=1^n ( (-1 + j De<a x)^2 + (-1 + j De<a x) ) De<a x

Passo 6

Vamos expandir os termos dentro da soma:
(-1 + j De<a x)^2 = 1 - 2j De<a x + j^2 (De<a x)^2
E
(-1 + j De<a x) = -1 + j De<a x
Então, a soma fica:
sumj=1^n (1 - 2j De<a x + j^2 (De<a x)^2 -1 + j De<a x ) De<a x

Passo 7

Simplificando os termos:
sumj=1^n ( -j De<a x + j^2 (De<a x)^2 ) De<a x = sumj=1^n ( -j (De<a x)^2 + j^2 (De<a x)^3 )

Passo 8

Agora, separamos as somas:
- (De<a x)^2 sumj=1^n j + (De<a x)^3 sumj=1^n j^2
Utilizando as fórmulas da dica:
sumj=1^n j = n(n+1)2 e sumj=1^n j^2 = n(n+1)(2n+1)6
Substituindo:
- (De<a x)^2 cdot n(n+1)2 + (De<a x)^3 cdot n(n+1)(2n+1)6

Passo 9

Lembrando que De<a x = 1n, substituímos:
- (1n)^2 cdot n(n+1)2 + (1n)^3 cdot n(n+1)(2n+1)6
Simplificando:
- n+12n + (n+1)(2n+1)6n^2

Passo 10

Agora vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty ( - n+12n + (n+1)(2n+1)6n^2 ) = -12 + 26 = -12 + 13 = -16

Resposta

O valor da integral é -16.

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