Calcule as derivadas das seguintes funções:
(1,0) F(x)=integralx^1 cos raizt d t;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função F(x) = integralx^1 cos(raizt) , dt . Aqui estamos lidando com cálculo diferencial e integral, mais especificamente com a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo para derivadas de funções definidas por integrais. Pra resolver isso, vamos precisar entender como a derivada se relaciona com integrais que têm limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, na parte que nos diz como derivar uma função que é uma integral com limites variáveis. Se tivermos F(x) = integrala(x)^b(x) f(t) , dt , então a derivada de F em relação a x é:
F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
No nosso caso, a(x) = x e b(x) = 1 . A função dentro da integral é f(t) = cos(raizt) .

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do teorema. Primeiro, calculamos f(b(x)) e f(a(x)) :
f(b(x)) = f(1) = cos(raiz1) = cos(1)
f(a(x)) = f(x) = cos(raizx)
Agora, calculamos as derivadas de b(x) e a(x) em relação a x :
b'(x) = ddx(1) = 0
a'(x) = ddx(x) = 1

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do teorema, temos:
F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) = cos(1) cdot 0 - cos(raizx) cdot 1 = -cos(raizx)

Resposta

A derivada de F(x) é:
F'(x) = -cos(raizx)

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