Considere o número de maneiras de se formar um time com
pessoas a partir de um grupo com
pessoas. Se uma dessas pessoas é João, há duas possibilidades para cada time: João está ou não está no time. Calculando separadamente as quantidades de times em cada uma dessas possibilidades, obtemos a seguinte identidade envolvendo binomiais:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo de
pessoas e queremos formar um time com
pessoas. Sabemos que João é uma dessas pessoas no grupo. A ideia é pensar nas maneiras de formar esse time considerando se o João está ou não no time. Para resolver isso, vamos usar combinações (coeficientes binomiais), que nos ajudam a calcular de quantas maneiras podemos escolher
pessoas de um grupo de
. Vamos precisar lembrar da fórmula das combinações e como elas se relacionam quando consideramos incluir ou excluir uma pessoa específica, como o João.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula das combinações:
Isso nos dá o número de maneiras de escolher
pessoas de um grupo de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar as duas possibilidades:
- João está no time: Se João está no time, então já escolhemos 1 pessoa (ele mesmo), então precisamos escolher mais
pessoas das que restam (já que excluímos o João). Então, o número de maneiras de fazer isso é:
- João não está no time: Se João não está no time, precisamos escolher todas as
pessoas das outras pessoas. Então, o número de maneiras é:
Passo 4
Como essas duas situações são mutuamente exclusivas e abrangem todas as possibilidades (João está ou não no time), o total de maneiras de formar o time é a soma das duas combinações:
Passo 5
Agora, vamos comparar essa identidade com as opções oferecidas na questão:
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 6
Comparando a identidade que derivamos:
com as opções, vemos que a opção E é exatamente igual.
Resposta
A alternativa correta é a E)
.