Considere o número de maneiras de se formar um time com k pessoas a partir de um grupo com n pessoas. Se uma dessas pessoas é João, há duas possibilidades para cada time: João está ou não está no time. Calculando separadamente as quantidades de times em cada uma dessas possibilidades, obtemos a seguinte identidade envolvendo binomiais:
A) binomnk=binomn-2k-2+binomn-1k-1+binomnk-1
B) binomn+1k+1=binomn-1k-1+binomn-1k
C) binomnk=binomnk-1+binomn-1k
D) binomnk+1=binomnk-1+binomn-1k
E) binomnk=binomn-1k-1+binomn-1k

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo de n pessoas e queremos formar um time com k pessoas. Sabemos que João é uma dessas pessoas no grupo. A ideia é pensar nas maneiras de formar esse time considerando se o João está ou não no time. Para resolver isso, vamos usar combinações (coeficientes binomiais), que nos ajudam a calcular de quantas maneiras podemos escolher k pessoas de um grupo de n. Vamos precisar lembrar da fórmula das combinações e como elas se relacionam quando consideramos incluir ou excluir uma pessoa específica, como o João.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula das combinações:
binomnk = n!k!(n-k)!
Isso nos dá o número de maneiras de escolher k pessoas de um grupo de n.

Passo 3

Agora, vamos considerar as duas possibilidades:
  1. João está no time: Se João está no time, então já escolhemos 1 pessoa (ele mesmo), então precisamos escolher mais k-1 pessoas das n-1 que restam (já que excluímos o João). Então, o número de maneiras de fazer isso é:
binomn-1k-1
  1. João não está no time: Se João não está no time, precisamos escolher todas as k pessoas das outras n-1 pessoas. Então, o número de maneiras é:
binomn-1k

Passo 4

Como essas duas situações são mutuamente exclusivas e abrangem todas as possibilidades (João está ou não no time), o total de maneiras de formar o time é a soma das duas combinações:
binomnk = binomn-1k-1 + binomn-1k

Passo 5

Agora, vamos comparar essa identidade com as opções oferecidas na questão:
A) binomnk=binomn-2k-2+binomn-1k-1+binomnk-1
B) binomn+1k+1=binomn-1k-1+binomn-1k
C) binomnk=binomnk-1+binomn-1k
D) binomnk+1=binomnk-1+binomn-1k
E) binomnk=binomn-1k-1+binomn-1k

Passo 6

Comparando a identidade que derivamos:
binomnk = binomn-1k-1 + binomn-1k
com as opções, vemos que a opção E é exatamente igual.

Resposta

A alternativa correta é a E) binomnk=binomn-1k-1+binomn-1k.

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