Analise a série alternada \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.
O conteúdo envolvido é série alternada, em que usamos o teste de Leibniz para convergência condicional e comparamos com a série harmônica para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos a_{n}=\tfrac{1}{n}. Observamos que
  1. \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0.
  2. A sequência \{a_{n}\} é monótona decrescente, pois para todo n\ge1 tem-se
a_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}=a_{n}.

Passo 3

Pelo teste de Leibniz para séries alternadas, como \{a_{n}\} é decrescente e tende a zero, a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}
converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n}}{n}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica, e sabe‐se que ela diverge. Logo, a série dada não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Passo 5

Para encontrar a soma, lembramos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}=\ln2.
Multiplicando ambos os lados por -1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}=-\ln2.

Resposta

A série converge condicionalmente (não converge absolutamente) e seu valor é -\ln2.

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