Considere a sequência a_{n}=n^{1 / n}. Determine o limite de a_{n} quando n \rightarrow \infty.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a sequência \,a_{n}=n^{1/n}. O conteúdo aqui é limite de sequência e para resolvê-la vamos usar logaritmos e exponencial para simplificar a expressão.

Passo 2

Escrevemos a_{n} em termos de exponencial e logaritmo:
a_{n} = n^{1/n} = \exp\bigl(\ln(n^{1/n})\bigr) = \exp\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr).

Passo 3

Definimos
E_{n} = \frac{\ln n}{n}
e calculamos \lim_{n\to\infty}E_{n}. Como \ln n\to\infty e n\to\infty, temos uma forma \infty/\infty, permitindo usar a regra de l’Hôpital (no equivalente contínuo x\to\infty):
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = 0.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}E_{n}=0, segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\exp\bigl(E_{n}\bigr) = \exp(0) = 1.

Resposta

1

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