Analise \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} : encontre o raio de convergência e discuta x=1 e x=-1.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série de potências
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n},
isto é, determinar o raio de convergência e discutir o comportamento nos pontos x=1 e x=-1. Vamos usar o teste da razão para obter o raio e, depois, examinar cada extremo.
Passo 2
Aplicando o teste da razão a a_n = x^n/n, calculamos
A série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Portanto o raio de convergência é
R = 1.
Passo 3
Em x=1 a série vira
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},
que é a série harmônica conhecida por divergir. Logo não há convergência em x=1.
Passo 4
Em x=-1 a série é
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}.
Trata-se de uma série alternada cujos termos em módulo \tfrac1n decrescem para zero. Pelo critério de Leibniz, ela converge, mas não absolutamente (pois \sum1/n diverge). A soma exata vale
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} = -\ln 2.
Resposta
R = 1.
Em x=1 diverge.
Em x=-1 converge condicionalmente (soma =-\ln 2).