Analise a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
e pede para analisarmos sua convergência. Esse é um caso clássico de série de termos positivos, e vamos usar dois critérios: o teste de p-séries e o teste da integral.

Passo 2

O teste de p-séries diz que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso temos p=2, que é maior que 1. Portanto, sem nem precisar de cálculos adicionais, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge.

Passo 3

Para reforçar, aplicamos o teste da integral. Considere a função contínua, positiva e decrescente para x\ge1:
f(x)=\frac{1}{x^{2}}.
O teste diz que a série converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
for finita. Calculamos:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx =\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}x^{-2}\,dx =\lim_{t\to\infty}\Bigl[-\frac{1}{x}\Bigr]_{1}^{t} =\lim_{t\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{t}+\frac{1}{1}\Bigr) =1.
Como a integral vale 1<\infty, a série também converge.

Passo 4

Além de convergir, essa série é famosa porque seu valor exato foi calculado por Euler. Obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} =\frac{\pi^{2}}{6}.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge (pela condição p=2>1 e pelo teste da integral) e seu valor exato é \displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}.

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