Analise a série
.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para analisarmos sua convergência. Esse é um caso clássico de série de termos positivos, e vamos usar dois critérios: o teste de
-séries e o teste da integral.
Passo 2
O teste de
-séries diz que a série
converge se, e somente se,
. No nosso caso temos
, que é maior que 1. Portanto, sem nem precisar de cálculos adicionais, concluímos que
converge.
Passo 3
Para reforçar, aplicamos o teste da integral. Considere a função contínua, positiva e decrescente para
:
O teste diz que a série converge se, e somente se, a integral imprópria
for finita. Calculamos:
Como a integral vale
, a série também converge.
Passo 4
Além de convergir, essa série é famosa porque seu valor exato foi calculado por Euler. Obtemos
Resposta
A série
converge (pela condição
e pelo teste da integral) e seu valor exato é
.