Sejam a e b números reais tas que
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{a x^{2}+14 x-13}-7 x=b
O valor de a+7 b é

Passo 1

O enunciado diz que existem a e b reais tais que
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{a x^{2}+14 x-13}-7x\bigr)=b
Queremos encontrar a+7b. O conteúdo principal aqui é análise de limites no infinito, em que usamos comparação de taxas de crescimento e, para calcular o valor exato de b, a técnica de multiplicar pelo conjugado.

Passo 2

Para que o limite seja finito, o termo dominante em x dentro da raiz deve se anular ao subtrair 7x. Como
\sqrt{a x^{2}+14 x-13}\sim\sqrt{a}\,x \quad(x\to+\infty),
precisamos ter \sqrt{a}=7, ou seja
a=49.

Passo 3

Com a=49, calculamos \sqrt{49x^{2}+14x-13}-7x multiplicando e dividindo pelo conjugado:
\sqrt{49x^{2}+14x-13}-7x =\frac{\bigl(\sqrt{49x^{2}+14x-13}-7x\bigr)\bigl(\sqrt{49x^{2}+14x-13}+7x\bigr)} {\sqrt{49x^{2}+14x-13}+7x} =\frac{14x-13}{\sqrt{49x^{2}+14x-13}+7x}.
Agora, ao x\to+\infty, o numerador é 14x-13\sim14x e o denominador é \sqrt{49x^{2}+\cdots}+7x\sim7x+7x=14x. Logo
b=\lim_{x\to+\infty}\frac{14x-13}{\sqrt{49x^{2}+14x-13}+7x} =1.

Passo 4

Tendo a=49 e b=1, obtemos
a+7b=49+7\cdot1=56.

Resposta

56

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