Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
sumk=1^+infty (n!)^n(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty an, an = (n!)^n(2n)!
Estamos em “séries de termos positivos” e vamos usar o teste da razão, que diz: se
L = limntoinfty an+1an
existe e L>1, então a série diverge.

Passo 2

Calculemos o quociente
an+1an = l((n+1)!r)^,n+1(2n+2)!,(2n)!(n!)^n = (n+1)^,n+1,(n!)^n+1(2n+2)(2n+1),(2n)!,(2n)!(n!)^n
em que usamos (n+1)!=(n+1),n! e (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!.

Passo 3

Simplificando, sobra
an+1an = (n+1)^,n+1,n!(2n+2)(2n+1) = (n+1)^,n+1(2n+2)(2n+1);n!
Para ver que isso cresce sem parar, note que n!>=1 e
(2n+2)(2n+1)<=4n^2Longrightarrow (n+1)^,n+1(2n+2)(2n+1)>=(n+1)^,n+14n^2
Como (n+1)^,n+14n^2toinfty quando ntoinfty, seguem-se
an+1an;longrightarrow;infty (!>1!)

Passo 4

Pelo teste da razão, como
limntoinftyan+1an=infty>1, a série diverge.

Resposta

A série diverge (pelo teste da razão).

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