Seja
. Mostre que f é contínua em (0,0).
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
f é contínua em
(0,0) . Em outras palavras, precisamos provar que
Passo 2
Para estudar o limite, introduzimos a coordenada radial
de modo que
rto0 equivale a
(x,y)to(0,0) . Então, para
(x,y)neq(0,0) temos
Passo 3
Agora usamos o fato bem conhecido de cálculo de uma variável:
Aqui basta tomar
u=r^2 . Como
rto0implies r^2to0 , deduzimos
Passo 4
Para ficar bem rigoroso com
varepsilon -
de<a : dado qualquer
varepsilon>0 , existe
de<a1>0 tal que
Basta agora escolher
de<a=raizde<a1 . Se
raizx^2+y^2<de<a , então
r^2=x^2+y^2<de<a^2=de<a1 , e segue
Isso prova que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=1 .
Passo 5
Como o limite em
(0,0) de
f(x,y) existe e vale exatamente
f(0,0)=1 , concluímos que
f é contínua em
(0,0) .
Resposta
A função
f é contínua em
(0,0) .