Seja f(x, y)=llsen(x^2+y^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 1 & se (x, y)=(0,0). Mostre que f é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 1,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que f é contínua em (0,0). Em outras palavras, precisamos provar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=1

Passo 2

Para estudar o limite, introduzimos a coordenada radial
r = raizx^2+y^2,
de modo que rto0 equivale a (x,y)to(0,0). Então, para (x,y)neq(0,0) temos
f(x,y) =sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2 =sinl(r^2r)r^2

Passo 3

Agora usamos o fato bem conhecido de cálculo de uma variável:
limuto0sin(u)u=1
Aqui basta tomar u=r^2. Como rto0implies r^2to0, deduzimos
limrto0sinl(r^2r)r^2=1

Passo 4

Para ficar bem rigoroso com varepsilon- de<a: dado qualquer varepsilon>0, existe de<a1>0 tal que
|u|<de<a1Longrightarrowl|sin(u)u-1r|<varepsilon
Basta agora escolher de<a=raizde<a1. Se raizx^2+y^2<de<a, então r^2=x^2+y^2<de<a^2=de<a1, e segue
l|f(x,y)-1r| =l|sin(r^2)r^2-1r|<varepsilon
Isso prova que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=1.

Passo 5

Como o limite em (0,0) de f(x,y) existe e vale exatamente f(0,0)=1, concluímos que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em (0,0).

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