Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
sumk=1^+infty (2 n+2)!3^n(n!)^2

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^+infty (2n+2)!3^n,(n!)^2
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da razão (ou teste de D’Alembert) para concluir se ela converge ou diverge.

Passo 2

Recordando o teste da razão: para an>0, definimos
L = limntoinfty an+1an
Se L<1 a série converge, se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui an = dfrac(2n+2)!3^n,(n!)^2. Vamos montar
an+1an = (2(n+1)+2)!3^,n+1,((n+1)!)^2 (2n+2)!3^n,(n!)^2 = (2n+4)!3^,n+1,(n+1)!^2;cdot;3^n,(n!)^2(2n+2)!

Passo 4

Simplificando fator a fator:
an+1an = 13;(2n+4)(2n+3)(2n+2)!(n+1)^2,(2n+2)! = 13;(2n+4)(2n+3)(n+1)^2
Agora tomamos o limite para ntoinfty:
L = limntoinftyan+1an = 13;limntoinfty(2n+4)(2n+3)(n+1)^2 = 13;4n^2+cal O(n)n^2+cal O(n) = 43

Passo 5

Como L=tfrac43>1, o teste da razão nos garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge (pelo teste da razão, pois o limite da razão é 4/3>1).

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