Mostre que, para todo n in N,
9 divide 10^n+3 times 4^n+2+5.

Passo 1

Vamos provar que para todo ninN vale
9 mid 10^n + 3 times 4^n+2 + 5
O conteúdo que vamos usar é aritmética modular: em particular, as congruências de 10^n módulo 9 e de 4^n+2 módulo 3.

Passo 2

Observamos que 10equiv1pmod9. Logo, elevando à potência n,
10^n equiv 1^n equiv 1 pmod9
Isto significa que existe kinZ tal que
10^n = 9k + 1

Passo 3

Agora, note que 4equiv1pmod3. Logo,
4^n+2 equiv 1^n+2 equiv 1 pmod3
Isto é, existe minZ tal que
4^n+2 = 3m + 1
Multiplicando ambos os lados por 3, obtemos
3 times 4^n+2 = 3(3m+1) = 9m + 3

Passo 4

Somando as expressões obtidas em cada termo:
10^n + 3times4^n+2 + 5 = l(9k+1r) + l(9m+3r) + 5 = 9k + 9m + (1+3+5)
Mas 1+3+5=9, logo
10^n + 3times4^n+2 + 5 = 9k + 9m + 9 = 9,(k+m+1)
Isso mostra que a soma é múltipla de 9.

Resposta

Portanto, para todo ninN,
9 mid 10^n + 3 times 4^n+2 + 5

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