Mostre que, para todo
,
9 divide
.
9 divide
Passo 1
Vamos provar que para todo
vale
O conteúdo que vamos usar é aritmética modular: em particular, as congruências de
módulo
e de
módulo
.
Passo 2
Observamos que
. Logo, elevando à potência
,
Isto significa que existe
tal que
Passo 3
Agora, note que
. Logo,
Isto é, existe
tal que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Passo 4
Somando as expressões obtidas em cada termo:
Mas
, logo
Isso mostra que a soma é múltipla de
.
Resposta
Portanto, para todo
,