Resolva as equações diferenciais usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular para o termo não homogêneo
.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
A equação característica é
logo há raiz dupla
. Assim a solução homogênea é
pois para raiz dupla usamos o fator
no segundo termo.
Passo 3
Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1,
, propomos um particular da forma
onde
e
são constantes a determinar. Não há conflito (ressonância) com
, pois
envolve
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
obtemos
ou seja
Igualando coeficientes de
e constantes:
Passo 5
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular: