Resolva as equações diferenciais usando o método dos coeficientes a determinar.
y^prime prime+6 y^prime+9 y=1+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 9y = 1 + x
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular para o termo não homogêneo 1 + x.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + 6y' + 9y = 0
A equação característica é
r^2 + 6r + 9 = 0 implies (r + 3)^2 = 0,
logo há raiz dupla r = -3. Assim a solução homogênea é
yh(x) = l(C1 + C2,xr)e^-3x,
pois para raiz dupla usamos o fator x no segundo termo.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, 1 + x, propomos um particular da forma
yp(x) = A,x + B,
onde A e B são constantes a determinar. Não há conflito (ressonância) com yh, pois yh envolve e^-3x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = A, yp'' = 0
Substituindo em y'' + 6y' + 9y = 1 + x obtemos
0 + 6A + 9(Ax + B) = 1 + x
ou seja
9A,x + (6A + 9B) = x + 1
Igualando coeficientes de x e constantes:
9A = 1 implies A = tfrac19,
6A + 9B = 1 implies 6cdottfrac19 + 9B = 1 implies tfrac23 + 9B = 1 implies 9B = tfrac13 implies B = tfrac127

Passo 5

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = l(C1 + C2,xr)e^-3x + 19,x + 127

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-3x + x9 + 127

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