Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
sumn=1^+infty n^22^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^+inftyn^22^n
converge ou não, indicando o teste usado. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos empregar o teste da razão para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
an = n^22^n
Para o teste da razão, calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)^22^,n+1n^22^,n = (n+1)^22,n^2

Passo 3

Agora tomamos o limite dessa razão quando nto+infty:
L ;=;limnto+inftyan+1an =limnto+infty(n+1)^22,n^2 =12

Passo 4

Como o valor L=tfrac12 é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão.

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