Investigue as integrais impróprias seguintes.
integral-infty^infty d x9+x^2

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência e, se convergente, calcular a integral imprópria
integral-infty^infty dx9 + x^2
O conteúdo aqui é integração imprópria de primeira espécie (limites infinitos) e uso de antiderivada de 1a^2+x^2, que envolve a função arctan.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de integrais definidas em um intervalo simétrico e usamos a antiderivada conhecida. Seja
I = integral-infty^infty dx9 + x^2 = limRtoinfty integral-R^R dx9 + x^2
Sabemos que, para a>0,
integral dxa^2 + x^2 = 1a ,arctan!l(tfracxar) + C
Aqui a^2=9, logo a=3, e a antiderivada é
F(x) = 13,arctan!l(tfracx3r)

Passo 3

Aplicando F nos limites -R e R:
integral-R^R dx9 + x^2 = F(R) - F(-R) = 13l[arctan!l(tfracR3r) - arctan!l(tfrac-R3r)r]
Como arctan é ímpar, arctan(-u)=-arctan(u), temos
F(R)-F(-R) = 13,l[2,arctan!l(tfracR3r)r] = 23,arctan!l(tfracR3r)
Agora tomamos Rtoinfty. Sabemos que limutoinftyarctan(u)=pi2, então
I = limRtoinfty23,arctan!l(tfracR3r) = 23,pi2 = pi3

Passo 4

O limite existe e é finito, logo a integral converge e seu valor é pi3.

Resposta

A integral converge e vale pi3.

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