Investigue as integrais impróprias seguintes.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência e, se convergente, calcular a integral imprópria
O conteúdo aqui é integração imprópria de primeira espécie (limites infinitos) e uso de antiderivada de
, que envolve a função
.
Passo 2
Reescrevemos a integral como limite de integrais definidas em um intervalo simétrico e usamos a antiderivada conhecida. Seja
Sabemos que, para
,
Aqui
, logo
, e a antiderivada é
Passo 3
Aplicando
nos limites
e
:
Como
é ímpar,
, temos
Agora tomamos
. Sabemos que
, então
Passo 4
O limite existe e é finito, logo a integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral converge e vale
.