Calcule as integrais definidas das seguintes funções contínuas por partes.
f(x)= 1x+1, & 0 <= x <= 2 (x-1)^2, & 2 <= x <= 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais definidas de
f(x)= dfrac1x+1, & 0<= x<=2,[6pt] (x-1)^2, & 2<= x<=4
ou seja, vamos usar a definição de integral de função por partes contínua e calcular separadamente
integral0^21x+1,dx e integral2^4(x-1)^2,dx, depois somar para obter integral0^4f(x),dx.]

Passo 2

Para a primeira parte, usamos a primitiva de 1x+1, que é ln(x+1). Logo,
integral0^21x+1,dx =l[ln(x+1)r]0^2 =ln(2+1)-ln(0+1) =ln3-ln1 =ln3

Passo 3

Para a segunda parte, podemos fazer a substituição u=x-1. Quando x=2, u=1; quando x=4, u=3. A integral fica
integral2^4(x-1)^2,dx =integral1^3u^2,du =l[tfracu^33r]1^3 =3^33-1^33 =27-13 =263

Passo 4

Somando as duas partes, a integral de 0 a 4 de f(x) é
integral0^4f(x),dx =integral0^21x+1,dx +integral2^4(x-1)^2,dx =ln3+263

Resposta

integral0^2f(x),dx=ln3, integral2^4f(x),dx=263, integral0^4f(x),dx=ln3+263

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