Analise as séries abaixo quanto a sua convergência (justifique sua análise).
sumn=1^infty n+1n raizn

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série sumn=1^infty n+1n raizn. O objetivo aqui é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste da série p.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observando n+1n raizn, podemos dividir o numerador pelos denominadores separadamente:
n+1n raizn = nn raizn + 1n raizn = 1raizn + 1n^3/2

Passo 3

Agora, nossa série pode ser escrita como a soma de duas séries:
sumn=1^infty ( 1raizn + 1n^3/2 ) = sumn=1^infty 1raizn + sumn=1^infty 1n^3/2

Passo 4

Vamos analisar cada uma dessas séries separadamente usando o teste da série p, que diz que a série sumn=1^infty 1n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1.

Passo 5

Para a primeira série sumn=1^infty 1raizn, temos p = 12. Como p = 12 <= 1, essa série diverge.

Passo 6

Para a segunda série sumn=1^infty 1n^3/2, temos p = 32. Aqui, p = 32 > 1, então essa série converge.

Passo 7

Mesmo que uma das séries converja, se a outra diverge, o resultado geral é que a soma das séries diverge. Portanto, a série original sumn=1^infty n+1n raizn diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n+1n raizn diverge.

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