Supor que o custo total
de produção
toneladas de um produto, em milhares de reais, é dado por:
Supondo que a empresa possa vender tudo o que produz, determinar o lucro máximo que pode ser obtido, se cada tonelada do produto é vendida a um preço de 21 milhares de reais.
Obs: Lembre que a função receita total é dada pelo produto da quantidade
de toneladas vendidas pelo preço unitário de cada tonelada. E a função lucro é dada pela subtração da receita pelo custo.
Obs: Lembre que a função receita total é dada pelo produto da quantidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de custo total
, onde
é a quantidade de toneladas produzidas. O objetivo é encontrar o lucro máximo que a empresa pode obter, sabendo que cada tonelada é vendida por 21 mil reais.
Para resolver, precisamos entender as seguintes partes:
- Função Receita Total ®: É o quanto a empresa ganha vendendo
toneladas. Calculamos multiplicando a quantidade pelo preço unitário. - Função Lucro §: É o que sobra depois de tirar o custo da receita. Ou seja,
.
Vamos precisar de conhecimentos sobre funções, derivadas e otimização para achar o lucro máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a Função Receita Total. Sabemos que cada tonelada é vendida por 21 mil reais, então:
Aqui,
é a quantidade de toneladas vendidas.
Passo 3
Agora, vamos montar a Função Lucro. Ela é a diferença entre a receita total e o custo total:
Vamos simplificar essa expressão:
Unindo os termos semelhantes:
Passo 4
Para encontrar o lucro máximo, precisamos derivar a função lucro e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são potenciais pontos de máximo ou mínimo.
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Para facilitar, podemos multiplicar toda a equação por 100 para eliminar as casas decimais:
Dividindo tudo por -9:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Simplificando a raiz quadrada:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Como estamos falando de produção, descartamos
porque daria um lucro menor.
Passo 7
Agora que temos
, vamos calcular o lucro máximo substituindo esse valor na função lucro
:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Resposta
O lucro máximo que a empresa pode obter é de aproximadamente 293,49 mil reais.