Supor que o custo total C(q) de produção q toneladas de um produto, em milhares de reais, é dado por:
C(q)=0,03 q^3-1,8 q^2+39 q
Supondo que a empresa possa vender tudo o que produz, determinar o lucro máximo que pode ser obtido, se cada tonelada do produto é vendida a um preço de 21 milhares de reais.
Obs: Lembre que a função receita total é dada pelo produto da quantidade q de toneladas vendidas pelo preço unitário de cada tonelada. E a função lucro é dada pela subtração da receita pelo custo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de custo total C(q) = 0,03q^3 - 1,8q^2 + 39q , onde q é a quantidade de toneladas produzidas. O objetivo é encontrar o lucro máximo que a empresa pode obter, sabendo que cada tonelada é vendida por 21 mil reais.
Para resolver, precisamos entender as seguintes partes:
  • Função Receita Total ®: É o quanto a empresa ganha vendendo q toneladas. Calculamos multiplicando a quantidade pelo preço unitário.
  • Função Lucro §: É o que sobra depois de tirar o custo da receita. Ou seja, P(q) = R(q) - C(q) .
Vamos precisar de conhecimentos sobre funções, derivadas e otimização para achar o lucro máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Função Receita Total. Sabemos que cada tonelada é vendida por 21 mil reais, então:
R(q) = 21q
Aqui, q é a quantidade de toneladas vendidas.

Passo 3

Agora, vamos montar a Função Lucro. Ela é a diferença entre a receita total e o custo total:
P(q) = R(q) - C(q) = 21q - (0,03q^3 - 1,8q^2 + 39q)
Vamos simplificar essa expressão:
P(q) = 21q - 0,03q^3 + 1,8q^2 - 39q
Unindo os termos semelhantes:
P(q) = -0,03q^3 + 1,8q^2 - 18q

Passo 4

Para encontrar o lucro máximo, precisamos derivar a função lucro e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são potenciais pontos de máximo ou mínimo.
Vamos calcular a derivada de P(q) em relação a q :
P'(q) = dPdq = -0,09q^2 + 3,6q - 18

Passo 5

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
-0,09q^2 + 3,6q - 18 = 0
Para facilitar, podemos multiplicar toda a equação por 100 para eliminar as casas decimais:
-9q^2 + 360q - 1800 = 0
Dividindo tudo por -9:
q^2 - 40q + 200 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
q = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = -40 e c = 200 . Substituindo:
q = 40 pm raiz1600 - 8002 = 40 pm raiz8002
Simplificando a raiz quadrada:
raiz800 = 28,28
Então:
q = 40 pm 28,282
Isso nos dá duas soluções:
q1 = 40 + 28,282 approx 34,14
q2 = 40 - 28,282 approx 5,86
Como estamos falando de produção, descartamos q2 porque daria um lucro menor.

Passo 7

Agora que temos q approx 34,14 , vamos calcular o lucro máximo substituindo esse valor na função lucro P(q) :
P(34,14) = -0,03(34,14)^3 + 1,8(34,14)^2 - 18(34,14)
Calculando cada parte:
-0,03(34,14)^3 approx -0,03 times 39619,5 approx -1188,59
1,8(34,14)^2 approx 1,8 times 1164,8 approx 2096,6
-18(34,14) approx -614,52
Somando tudo:
P(34,14) approx -1188,59 + 2096,6 - 614,52 approx 293,49

Resposta

O lucro máximo que a empresa pode obter é de aproximadamente 293,49 mil reais.

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