Analise as séries abaixo quanto a sua convergência (justifique sua análise).
Passo 1
Beleza, vamos analisar a série . Estamos trabalhando com séries infinitas e queremos descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos fatorial e potências na expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite do quociente entre termos consecutivos. Ou seja, calculamos:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, ela diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identifiquemos an:
Sabemos que ( n+1n )^99 = (1 + 1n)^99, que para n grande, se aproxima de e^99 cdot 1n pela aproximação (1 + 1n)^n approx e . Porém, para simplificação sem entrar em detalhes avançados, observamos que:
(1 + 1n)^99 approx 1 + 99n
Para n to infty, isso se aproxima de 1. Então:
an+1an approx 100n
Passo 6
Agora, calculamos o limite L:
L = limn to infty 100n = 0
Como L = 0 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.