Analise as séries abaixo quanto a sua convergência (justifique sua análise).
sumn=1^infty 100^n n^100n!

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série sumn=1^infty 100^n , n^100n!. Estamos trabalhando com séries infinitas e queremos descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos fatorial e potências na expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite do quociente entre termos consecutivos. Ou seja, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, ela diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identifiquemos an:
an = 100^n , n^100n!
Agora, vamos calcular an+1:
an+1 = 100^n+1 , (n+1)^100(n+1)!

Passo 4

Agora, calculamos o quociente an+1an:
an+1an = 100^n+1 , (n+1)^100(n+1)! times n!100^n , n^100 = 100 , (n+1)^100(n+1) , n^100
Simplificando, temos:
an+1an = 100 , (n+1)^100(n+1) , n^100 = 100 , (n+1)^99n^100

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais a expressão:
an+1an = 100 ( n+1n )^99 times 1n
Sabemos que ( n+1n )^99 = (1 + 1n)^99, que para n grande, se aproxima de e^99 cdot 1n pela aproximação (1 + 1n)^n approx e . Porém, para simplificação sem entrar em detalhes avançados, observamos que:
(1 + 1n)^99 approx 1 + 99n
Para n to infty, isso se aproxima de 1. Então:
an+1an approx 100n

Passo 6

Agora, calculamos o limite L:
L = limn to infty 100n = 0
Como L = 0 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 100^n , n^100n! converge.

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