Dados dois números reais positivos. Se a média aritmética entre esses dois números é 6 e a média geométrica é 5 . Determine o módulo (valor absoluto) da diferença entre esses dois números.
Passo 1
Vamos resolver um problema que envolve médias aritmética e geométrica para encontrar a diferença entre dois números positivos. Precisamos usar conceitos de médias e propriedades de números reais para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os dois números de
e
. Sabemos que ambos são positivos.
Passo 3
A média aritmética de dois números é a soma deles dividida por 2. No nosso caso:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 4
A média geométrica de dois números é a raiz quadrada do produto deles. Assim:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Queremos encontrar o valor absoluto da diferença entre
e
, ou seja,
. Para isso, usamos a identidade algébrica:
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 6
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
O valor absoluto da diferença entre os dois números é
.