Dados dois números reais positivos. Se a média aritmética entre esses dois números é 6 e a média geométrica é 5 . Determine o módulo (valor absoluto) da diferença entre esses dois números.

Passo 1

Vamos resolver um problema que envolve médias aritmética e geométrica para encontrar a diferença entre dois números positivos. Precisamos usar conceitos de médias e propriedades de números reais para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os dois números de a e b . Sabemos que ambos são positivos.

Passo 3

A média aritmética de dois números é a soma deles dividida por 2. No nosso caso:
a + b2 = 6
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
a + b = 12

Passo 4

A média geométrica de dois números é a raiz quadrada do produto deles. Assim:
raiza cdot b = 5
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
a cdot b = 25

Passo 5

Queremos encontrar o valor absoluto da diferença entre a e b , ou seja, |a - b| . Para isso, usamos a identidade algébrica:
(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab
Substituindo os valores que já encontramos:
(a - b)^2 = 12^2 - 4 cdot 25 = 144 - 100 = 44

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar |a - b| :
|a - b| = raiz44 = raiz4 cdot 11 = 2raiz11

Resposta

O valor absoluto da diferença entre os dois números é 2raiz11 .

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