Analise as séries abaixo quanto a sua convergência (justifique sua análise).
sumn=1^infty (2 n)!(n!)^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa analisar se a série sumn=1^infty (2n)!(n!)^2 converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, mais especificamente o Teste da Razão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a série que estamos analisando. A série é formada por termos da forma (2n)!(n!)^2. Nosso objetivo é descobrir se a soma desses termos tende a um número finito (converge) ou cresce sem limites (diverge).

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com fatorial. Esse teste diz que, para a série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an+1an:
an = (2n)!(n!)^2 an+1 = (2(n+1))!((n+1)!)^2 = (2n+2)!(n+1)!^2
Então,
an+1an = (2n+2)!(n+1)!^2 times (n!)^2(2n)! = (2n+2)(2n+1)(n+1)^2

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
(2n+2)(2n+1)(n+1)^2 = 4n^2 + 6n + 2n^2 + 2n + 1
Para encontrar o limite quando n tende ao infinito, observamos os termos de maior grau:
limn to infty 4n^2n^2 = 4

Passo 6

Então, limn to infty | an+1an | = 4.
Como 4 > 1, de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty (2n)!(n!)^2 diverge, pois o limite da razão entre termos sucessivos é maior que 1 ( L = 4).

Exercícios relacionados