Analise as séries abaixo quanto a sua convergência (justifique sua análise).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa analisar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, mais especificamente o Teste da Razão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a série que estamos analisando. A série é formada por termos da forma . Nosso objetivo é descobrir se a soma desses termos tende a um número finito (converge) ou cresce sem limites (diverge).
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com fatorial. Esse teste diz que, para a série , calculamos o limite:
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular an+1an:
an = (2n)!(n!)^2 an+1 = (2(n+1))!((n+1)!)^2 = (2n+2)!(n+1)!^2
Então,
an+1an = (2n+2)!(n+1)!^2 times (n!)^2(2n)! = (2n+2)(2n+1)(n+1)^2
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
(2n+2)(2n+1)(n+1)^2 = 4n^2 + 6n + 2n^2 + 2n + 1
Para encontrar o limite quando n tende ao infinito, observamos os termos de maior grau:
limn to infty 4n^2n^2 = 4
Passo 6
Então, limn to infty | an+1an | = 4.
Como 4 > 1, de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.
Resposta
A série sumn=1^infty (2n)!(n!)^2diverge, pois o limite da razão entre termos sucessivos é maior que 1 (L = 4).