Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=2^infty b^n(x-1)^nln n, com b>0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=2^infty b^n(x-1)^nln n,
onde b > 0 . Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que ajuda a determinar para quais valores de x a série converge.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Esse teste envolve calcular o limite
L = limn to infty | an+1an |,
onde an = b^n(x-1)^nln n . Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos calcular esse limite:
L = limn to infty | b^n+1(x-1)^n+1ln (n+1) cdot ln nb^n(x-1)^n |
Simplificando,
L = limn to infty | b (x-1) cdot ln nln (n+1) |
Sabemos que
limn to infty ln nln (n+1) = 1,
então
L = |b (x-1)|

Passo 4

Para que a série convirja pelo teste da razão, precisamos que L < 1 :
|b (x-1)| < 1 Rightarrow |x-1| < 1b
O termo 1b é o raio de convergência R :
R = 1b

Passo 5

Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que:
|x-1| < 1b Rightarrow -1b < x - 1 < 1b
Somando 1 em todos os lados da desigualdade:
1 - 1b < x < 1 + 1b
Então, o intervalo de convergência é (1 - 1b, 1 + 1b) .

Resposta

O raio de convergência é R = 1b e o intervalo de convergência é (1 - 1b,, 1 + 1b) .

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