Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
, com
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências
onde
. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que ajuda a determinar para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão. Esse teste envolve calcular o limite
onde
an = b^n(x-1)^nln n . Se
L < 1 , a série converge; se
L > 1 , diverge; e se
L = 1 , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos calcular esse limite:
Simplificando,
Sabemos que
então
Passo 4
Para que a série convirja pelo teste da razão, precisamos que
L < 1 :
O termo
1b é o raio de convergência
R :
Passo 5
Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que:
Somando 1 em todos os lados da desigualdade:
Então, o intervalo de convergência é
(1 - 1b, 1 + 1b) .
Resposta
O raio de convergência é
R = 1b e o intervalo de convergência é
(1 - 1b,, 1 + 1b) .