Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência () de uma série de potências. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo geral da série no -ésimo termo e o termo geral no -ésimo termo, quando tende ao infinito.
A fórmula do Teste da Razão é:
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , a série diverge; se L = 1 , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, o termo geral é:
Agora, vamos calcular :
Agora, vamos montar a razão :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando n tende a infinito:
L = limn to infty | (n+1)^3 x(3n+3)(3n+2)(3n+1) |
Para facilitar, vamos dividir numerador e denominador por n^3 :
L = limn to infty | (1 + 1n)^3 x(3 + 3n)(3 + 2n)(3 + 1n) |
À medida que n tende ao infinito, 1n tende a 0, então:
L = | 1^3 x3 times 3 times 3 | = | x27 |
Passo 5
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir:
L = | x27 | < 1
Resolvendo para x :
| x | < 27
Isso significa que o raio de convergência R é 27.
Passo 6
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, sabemos que a série converge para x tais que |x| < 27 . Portanto, o intervalo é:
-27 < x < 27
Precisamos também verificar o comportamento nos pontos x = -27 e x = 27 , mas geralmente, para séries com fator de x^n envolvendo fatoriais, a convergência é garantida apenas no interior do raio, então podemos considerar que o intervalo de convergência é aberto.
Resposta
O raio de convergência é 27 e o intervalo de convergência é -27 < x < 27 .