Analise as séries a seguir quanto à convergência absoluta, condicional e divergência.
(3 pontos ) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-3}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-3}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. Vamos usar o teste de comparação (ou comparação-limite) com a p
obreakdash-série \sum 1/n^2, que é convergente pois p=2>1.

Passo 2

Observemos primeiro a série de termos absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{1}{n^{2}-3}\right|.
Para n\ge3 temos n^2-3>0, e de qualquer forma o comportamento assintótico de \bigl|\tfrac1{n^2-3}\bigr| é equivalente a \tfrac1{n^2}.

Passo 3

Apliquemos o teste da comparação-limite com b_n=1/n^2:
\lim_{n\to\infty} \frac{\bigl|\frac1{n^2-3}\bigr|}{\frac1{n^2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{\,n^2-3\,} =1.
Como esse limite é finito e não nulo, \sum \left|\tfrac1{n^2-3}\right| e \sum1/n^2 têm o mesmo tipo de convergência.

Passo 4

Sabemos que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n^2} converge. Logo
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{1}{n^{2}-3}\right|
converge também, o que implica que a série original converge absolutamente (e, portanto, converge).

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-3}
converge absolutamente.

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