Calcule as seguintes integrais:
(2 pontos ) \int_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{3}}\,dx
Aqui vamos usar o método de substituição, pois vemos x no numerador e uma expressão em x^{2}+1 no denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}+1,
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Quando x=0, u=0^{2}+1=1.
Quando x=1, u=1^{2}+1=2.
A integral em u fica
\int_{u=1}^{u=2}\frac{1}{\bigl(u\bigr)^{3}}\cdot\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int_{1}^{2}u^{-3}\,du.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de u^{-3}:
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2}.
Logo
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}u^{-3}\,du =\frac{1}{2}\left[\frac{u^{-2}}{-2}\right]_{1}^{2} =-\frac{1}{4}\Bigl[u^{-2}\Bigr]_{1}^{2}.

Passo 5

Avaliaremos em u=2 e u=1:
-\frac{1}{4}\bigl(2^{-2}-1^{-2}\bigr) =-\frac{1}{4}\Bigl(\tfrac{1}{4}-1\Bigr) =-\frac{1}{4}\Bigl(-\tfrac{3}{4}\Bigr) =\frac{3}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{16}

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