(6 pontos ) Encontre a série de Taylor (seu raio e intervalo de convergência) da função
centrada em
. Utilize essa série para encontrar uma série de potências para a primitiva
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
centrada em
, junto com seu raio e intervalo de convergência, e depois usar essa série para obter uma série de potências para a primitiva
O conteúdo envolvido é: expansão em série de potências (Taylor) de funções elementares e integração termo a termo de séries.
Passo 2
Lembramos a expansão de Taylor de
em torno de
:
válida para todo
(ou seja, raio de convergência infinito).
Passo 3
Basta fazer
. Então
Como a série de
converge para todo
, esta converge para todo
, logo o raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Passo 4
Para integrar
, podemos usar a série de
:
de modo que, com
,
Multiplicando por
e integrando termo a termo:
Passo 5
Simplificando o coeficiente:
então
Podemos também reindexar
, mas não é obrigatório.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é
com raio de convergência
e intervalo de convergência
.
A série de potências para a primitiva
é