(6 pontos ) Encontre a série de Taylor (seu raio e intervalo de convergência) da função f(x)=\cos x^{3} centrada em a=0. Utilize essa série para encontrar uma série de potências para a primitiva \int 3 x^{2} \operatorname{sen}\left(x^{3}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\cos(x^3) centrada em a=0, junto com seu raio e intervalo de convergência, e depois usar essa série para obter uma série de potências para a primitiva
\int 3x^{2}\sin\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é: expansão em série de potências (Taylor) de funções elementares e integração termo a termo de séries.

Passo 2

Lembramos a expansão de Taylor de \cos z em torno de z=0:
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,z^{2n},
válida para todo z\in\mathbb{R} (ou seja, raio de convergência infinito).

Passo 3

Basta fazer z = x^{3}. Então
\cos\bigl(x^{3}\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,(x^{3})^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,x^{6n}}{(2n)!}.
Como a série de \cos z converge para todo z, esta converge para todo x, logo o raio de convergência é R=\infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

Passo 4

Para integrar \displaystyle 3x^{2}\sin(x^{3}), podemos usar a série de \sin z:
\sin z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,z^{2n+1},
de modo que, com z=x^{3},
\sin\bigl(x^{3}\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,x^{6n+3}}{(2n+1)!}.
Multiplicando por 3x^{2} e integrando termo a termo:
3x^{2}\sin(x^{3}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,3\,x^{6n+5}}{(2n+1)!},
\int 3x^{2}\sin(x^{3})\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,3}{(2n+1)!}\,\frac{x^{6n+6}}{6n+6} + C.

Passo 5

Simplificando o coeficiente:
\frac{3}{6n+6} = \frac{1}{2n+2} \quad\text{e}\quad (2n+2)(2n+1)! = (2n+2)!,
então
\int 3x^{2}\sin(x^{3})\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,x^{6n+6}}{(2n+2)!} + C.
Podemos também reindexar k = n+1, mas não é obrigatório.

Resposta

A série de Taylor de \cos(x^{3}) centrada em 0 é
\cos(x^{3}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,x^{6n}}{(2n)!},
com raio de convergência R=\infty e intervalo de convergência (-\infty,\infty).
A série de potências para a primitiva \displaystyle \int 3x^{2}\sin(x^{3})\,dx é
\int 3x^{2}\sin(x^{3})\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,x^{6n+6}}{(2n+2)!} + C.

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