Questão 1 Considere a função
.
(a) Esboce o domínio de
.
(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de
é uma reta? Justifique sua resposta!
(c) Calcule as derivadas parciais de
.
(a) Esboce o domínio de
(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de
(c) Calcule as derivadas parciais de
Passo 1
O enunciado considera a função
e pede:
(a) o esboço do domínio de ;
(b) analisar se a curva de nível 1 é reta;
(c) calcular as derivadas parciais de .
Para isso vamos usar:
(a) o esboço do domínio de
(b) analisar se a curva de nível 1 é reta;
(c) calcular as derivadas parciais de
Para isso vamos usar:
- condição de existência (denominador não nulo);
- definição de curva de nível
; - regra do quociente para derivadas parciais.
Passo 2
Queremos os pares
tais que
.
Isto é,
Isto é,
Logo o domínio é
ou seja, o plano inteiro com a reta vertical
removida.
Passo 3
A curva de nível 1 satisfaz
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Isso é a equação de uma reta em
. Portanto sim, a curva de nível 1 é uma reta.
Passo 4
Para
tratamos
como constante e aplicamos a regra do quociente com
e
:
Podemos simplificar:
Passo 5
Para
tratamos
como constante. Como
não depende de
, temos
Resposta
(a)
, ou seja o plano com a reta
retirada.
(b) Sim. Da equação segue
, que é reta.
(c)
(b) Sim. Da equação
(c)