Questão 1 Considere a função f(x, y)=\frac{3 y+1}{2 x-2}.
(a) Esboce o domínio de f.
(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de f é uma reta? Justifique sua resposta!
(c) Calcule as derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado considera a função
f(x,y)=\frac{3y+1}{2x-2}
e pede:
(a) o esboço do domínio de f;
(b) analisar se a curva de nível 1 é reta;
(c) calcular as derivadas parciais de f.
Para isso vamos usar:
  • condição de existência (denominador não nulo);
  • definição de curva de nível \{(x,y)\mid f(x,y)=c\};
  • regra do quociente para derivadas parciais.

Passo 2

Queremos os pares (x,y) tais que 2x-2\neq0.
Isto é,
2x-2\neq0\quad\LongRightarrow\quad x\neq1.
Logo o domínio é
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq1\bigr\},
ou seja, o plano inteiro com a reta vertical x=1 removida.

Passo 3

A curva de nível 1 satisfaz
\frac{3y+1}{2x-2}=1.
Multiplicando ambos os lados por 2x-2, obtemos
3y+1=2x-2 \quad\Longrightarrow\quad 3y=2x-3 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{2}{3}\,x-1.
Isso é a equação de uma reta em \mathbb{R}^2. Portanto sim, a curva de nível 1 é uma reta.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e aplicamos a regra do quociente com \,u=3y+1 e v=2x-2:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u'\,v - u\,v'}{v^2} =\frac{0\cdot(2x-2)-(3y+1)\cdot2}{(2x-2)^2} =-\frac{2(3y+1)}{(2x-2)^2}.
Podemos simplificar:
-\frac{2(3y+1)}{(2x-2)^2} =-\frac{6y+2}{4(x-1)^2} =-\frac{3y+1}{2(x-1)^2}.

Passo 5

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante. Como v=2x-2 não depende de y, temos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u'}{v} =\frac{3}{2x-2} =\frac{3}{2(x-1)}.

Resposta

(a) D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq1\}, ou seja o plano com a reta x=1 retirada.
(b) Sim. Da equação \displaystyle \frac{3y+1}{2x-2}=1 segue y=\tfrac{2}{3}x-1, que é reta.
(c)
\frac{\partial f}{\partial x} =-\frac{3y+1}{2(x-1)^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{3}{2(x-1)}.

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