Questão 2 Considere a função
.
(a) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto (
).
(b) Determine a derivada direcional de
no ponto (
) na direção do vetor unitário
.
(c) Dentre todas as infinitas derivadas direcionais de
no ponto (
) determine a maior possível.
(a) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de
(b) Determine a derivada direcional de
(c) Dentre todas as infinitas derivadas direcionais de
Passo 1
O enunciado pede para a gente trabalhar com derivadas parciais, gradiente e derivada direcional da função
.
Precisamos:
Precisamos:
- Obter o plano tangente ao gráfico de
em . - Calcular a derivada direcional em direção ao vetor unitário
. - Encontrar qual é a maior derivada direcional possível nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, calculamos o gradiente geral:
No ponto
temos
,
logo
logo
Também
.
O plano tangente é dado por
O plano tangente é dado por
ou seja
Passo 3
A derivada direcional de
em
na direção de
é
Passo 4
A maior derivada direcional em
é o comprimento do gradiente:
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)