Questão 2 Considere a função f(x, y)=\cos \left(x^{2}+y^{2}\right).
(a) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0, \sqrt{\frac{\pi}{2}} ).
(b) Determine a derivada direcional de f no ponto ( 0, \sqrt{\frac{\pi}{2}} ) na direção do vetor unitário \vec{u}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).
(c) Dentre todas as infinitas derivadas direcionais de f no ponto ( 0, \sqrt{\frac{\pi}{2}} ) determine a maior possível.

Passo 1

O enunciado pede para a gente trabalhar com derivadas parciais, gradiente e derivada direcional da função \displaystyle f(x,y)=\cos\bigl(x^2+y^2\bigr).
Precisamos:
  1. Obter o plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) em \bigl(0,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr).
  2. Calcular a derivada direcional em direção ao vetor unitário \displaystyle \vec u=\bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).
  3. Encontrar qual é a maior derivada direcional possível nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente geral:
\nabla f(x,y) =\Bigl(f_x,\;f_y\Bigr) =\Bigl(-2x\sin(x^2+y^2),\;-2y\sin(x^2+y^2)\Bigr).
No ponto P=(0,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}) temos \sin\bigl(0^2+(\sqrt{\tfrac{\pi}{2}})^2\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,
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\nabla f(P) =\bigl(0,\,-2\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr).
Também f(P)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
O plano tangente é dado por
z - f(P) = f_x(P)\,(x-0) + f_y(P)\bigl(y-\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr),
ou seja
z = -2\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\;\bigl(y-\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr).

Passo 3

A derivada direcional de f em P na direção de \vec u é
D_{\vec u}f(P) =\nabla f(P)\cdot \vec u =\bigl(0,\,-2\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr)\cdot\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) =-2\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\;\frac{\sqrt3}{2} =-\sqrt3\;\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}.

Passo 4

A maior derivada direcional em P é o comprimento do gradiente:
\max_{\|\vec v\|=1}D_{\vec v}f(P) =\|\nabla f(P)\| =2\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} =\sqrt{2\pi}.

Resposta

(a) \displaystyle z = -2\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\,(y-\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}).
(b) \displaystyle D_{\vec u}f\bigl(0,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr)=-\sqrt3\,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}.
(c) \displaystyle \max D_{\text{dir}}f=\sqrt{2\pi}.

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