Analise as séries a seguir quanto à convergência absoluta, condicional e divergência.
(3 pontos ) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}-4}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}-4}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries numéricas, em particular comparação com séries-p e o teste da comparação limite.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty} \biggl|\frac{1}{n^{3}-4}\biggr| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{|n^{3}-4|}.
Para n grande, n^{3}-4\approx n^{3}, de modo que os termos se comportam como 1/n^{3}. Sabemos que a série-p
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=3, logo \sum1/n^{3} converge.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação limite entre
a_{n} = \frac{1}{|n^{3}-4|} \quad\text{e}\quad b_{n} = \frac{1}{n^{3}}.
Calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1/|n^{3}-4|}{1/n^{3}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{3}}{|n^{3}-4|} =1.
Como 0< L<\infty e \sum b_{n}=\sum1/n^{3} converge, concluímos que \sum a_{n} também converge.

Passo 4

A convergência de \sum|a_{n}| implica que a série original converge absolutamente. Logo não é condicional — ela já converge de modo mais forte, isto é, absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}-4} converge absolutamente.

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