Exercício 6.51. Calcule:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x e^{\frac{1}{x}}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to\infty}\bigl(xe^{1/x}-x\bigr).
O conteúdo aqui envolve limites com indeterminação do tipo \infty\cdot0, e uma forma eficiente de resolver é reescrever a expressão como uma razão e usar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Reescrevemos
xe^{1/x}-x = x\bigl(e^{1/x}-1\bigr)
e, em seguida, vemos que
x\bigl(e^{1/x}-1\bigr) = \frac{e^{1/x}-1}{1/x}.
Logo
\lim_{x\to\infty}\bigl(xe^{1/x}-x\bigr) = \lim_{x\to\infty}\frac{e^{1/x}-1}{1/x}.
Nesse quociente, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando x\to\infty.

Passo 3

Como temos a forma indeterminada 0/0, aplicamos a regra de l’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{1/x}-1\bigr) = e^{1/x}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^2}\bigr).
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) = -\tfrac{1}{x^2}.
Portanto,
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{1/x}-1}{1/x} = \lim_{x\to\infty} \frac{e^{1/x}\,(-1/x^2)}{-1/x^2} = \lim_{x\to\infty}e^{1/x}.

Passo 4

Como 1/x\to0 quando x\to\infty, temos
\lim_{x\to\infty}e^{1/x} = e^0 = 1.

Resposta

O valor do limite é 1.

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