Exercício 6.51. Calcule: \lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}+x^{2}\right)^{\frac{1}{x}} Passo 1O enunciado pede para calcular a seguinte expressão quando x\to\infty: \lim_{x\to\infty}\bigl(e^{x}+x^{2}\bigr)^{\tfrac{1}{x}}. O conteúdo principal é analisar qual termo domina dentro do parêntese e usar propriedades de limites de potências. Passo 2Reescrevemos o termo dentro da potência destacando o fator dominante e^{x}: e^{x}+x^{2} = e^{x}\Bigl(1 + x^{2}e^{-x}\Bigr). Portanto, \bigl(e^{x}+x^{2}\bigr)^{\tfrac{1}{x}} = \bigl[e^{x}\bigr]^{\tfrac{1}{x}} \;\cdot\; \Bigl(1 + x^{2}e^{-x}\Bigr)^{\tfrac{1}{x}} = e \;\cdot\; \Bigl(1 + x^{2}e^{-x}\Bigr)^{\tfrac{1}{x}}. Passo 3Observamos que x^{2}e^{-x}\;\xrightarrow[x\to\infty]{}\;0 pois a exponencial no denominador cresce muito mais rápido que o polinômio. Logo o segundo fator fica da forma \bigl(1+\text{algo pequeno}\bigr)^{1/x}. Passo 4Para concluir que \bigl(1 + x^{2}e^{-x}\bigr)^{1/x}\to1, consideramos o logaritmo: \ln\Bigl[\bigl(1 + x^{2}e^{-x}\bigr)^{\tfrac{1}{x}}\Bigr] = \tfrac{1}{x}\,\ln\bigl(1 + x^{2}e^{-x}\bigr). Como x^{2}e^{-x}\to0, usamos \ln(1+u)\sim u para u\to0, obtendo \tfrac{1}{x}\,\ln\bigl(1 + x^{2}e^{-x}\bigr) \sim \tfrac{1}{x}\,(x^{2}e^{-x}) = x\,e^{-x} \;\xrightarrow[x\to\infty]{}\;0. Portanto o logaritmo tende a zero, e o fator tende a e^{0}=1. Passo 5Juntando tudo: \lim_{x\to\infty}\bigl(e^{x}+x^{2}\bigr)^{\tfrac{1}{x}} = e \times 1 = e. Resposta e MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosAnalise as séries a seguir quanto à convergência absoluta, condicional e divergência. (3 pontos ) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}-4}. ( 6 pontos ) Encontre a série de Taylor (seu raio e intervalo de convergência) da função f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right) centrada em a=0. Utilize essa série para encontrar uma série de potências para a primitiva \int x \cos \left(x^{2}\right) d x. Exercício 6.51. Calcule: \lim _{x \rightarrow \infty}\left(x e^{\frac{1}{x}}-x\right) Exercício 6.51. Calcule: \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}