Exercício 6.51. Calcule:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}+x^{2}\right)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a seguinte expressão quando x\to\infty:
\lim_{x\to\infty}\bigl(e^{x}+x^{2}\bigr)^{\tfrac{1}{x}}.
O conteúdo principal é analisar qual termo domina dentro do parêntese e usar propriedades de limites de potências.

Passo 2

Reescrevemos o termo dentro da potência destacando o fator dominante e^{x}:
e^{x}+x^{2} = e^{x}\Bigl(1 + x^{2}e^{-x}\Bigr).
Portanto,
\bigl(e^{x}+x^{2}\bigr)^{\tfrac{1}{x}} = \bigl[e^{x}\bigr]^{\tfrac{1}{x}} \;\cdot\; \Bigl(1 + x^{2}e^{-x}\Bigr)^{\tfrac{1}{x}} = e \;\cdot\; \Bigl(1 + x^{2}e^{-x}\Bigr)^{\tfrac{1}{x}}.

Passo 3

Observamos que
x^{2}e^{-x}\;\xrightarrow[x\to\infty]{}\;0
pois a exponencial no denominador cresce muito mais rápido que o polinômio. Logo o segundo fator fica da forma \bigl(1+\text{algo pequeno}\bigr)^{1/x}.

Passo 4

Para concluir que \bigl(1 + x^{2}e^{-x}\bigr)^{1/x}\to1, consideramos o logaritmo:
\ln\Bigl[\bigl(1 + x^{2}e^{-x}\bigr)^{\tfrac{1}{x}}\Bigr] = \tfrac{1}{x}\,\ln\bigl(1 + x^{2}e^{-x}\bigr).
Como x^{2}e^{-x}\to0, usamos \ln(1+u)\sim u para u\to0, obtendo
\tfrac{1}{x}\,\ln\bigl(1 + x^{2}e^{-x}\bigr) \sim \tfrac{1}{x}\,(x^{2}e^{-x}) = x\,e^{-x} \;\xrightarrow[x\to\infty]{}\;0.
Portanto o logaritmo tende a zero, e o fator tende a e^{0}=1.

Passo 5

Juntando tudo:
\lim_{x\to\infty}\bigl(e^{x}+x^{2}\bigr)^{\tfrac{1}{x}} = e \times 1 = e.

Resposta

e

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