Analise os sistemas lineares abaixo, com relação ao número de soluções, utilizando o método da eliminação de Gaus para resolver (use três casas decimais):
\left\{\begin{array}{c}3 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}+x_{4}=7 \\\\ -6 x_{1}+4 x_{2}-8 x_{3}+x_{4}=1 \\\\ 9 x_{1}-6 x_{2}+19 x_{3}+x_{4}=4 \\\\ 6 x_{1}-4 x_{2}-6 x_{3}+15 x_{4}=12\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu analise o sistema linear quanto ao número de soluções e resolva usando eliminação de Gauss (com números apresentados com três casas decimais). O sistema dado é:
\begin{cases} 3x_{1}-2x_{2}+5x_{3}+x_{4}=7,\\[4pt] -6x_{1}+4x_{2}-8x_{3}+x_{4}=1,\\[4pt] 9x_{1}-6x_{2}+19x_{3}+x_{4}=4,\\[4pt] 6x_{1}-4x_{2}-6x_{3}+15x_{4}=12. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Quatro equações e quatro incógnitas }(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).\\\ &\text{É solicitado o estudo do número de soluções e a resolução pelo método de eliminação (Gauss).} \end{aligned}çõóÉúçõçãéçã]

Passo 2

Vou transformar o sistema na matriz aumentada (cada número da equação entra na linha correspondente; a última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\[4pt] -6 & 4 & -8 & 1 & 1\\[4pt] 9 & -6 & 19 & 1 & 4\\[4pt] 6 & -4 & -6 & 15 & 12 \end{array}\right].
Explicando rapidamente (sem pular etapas): cada linha da matriz corresponde a uma equação; a ideia da eliminação de Gauss é usar operações elementares sobre linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma forma triangular (ou escalonada). Se no final aparecer uma linha com todos os coeficientes zero e termo independente diferente de zero, o sistema é inconsistente (sem solução). Se aparecer variável livre, há infinitas soluções, etc.]

Passo 3

Começo com o pivô na posição (1,1), que vale \,3. Vou zerar os elementos abaixo desse pivô (coluna 1) aplicando operações sobre as linhas:
  • R_{2}\leftarrow R_{2}+2R_{1} (porque -6 + 2\cdot 3 = 0),
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1} (porque 9 - 3\cdot 3 = 0),
  • R_{4}\leftarrow R_{4}-2R_{1} (porque 6 - 2\cdot 3 = 0).
Faço as contas linha a linha (mostro cálculos):
  • Para R_{2}: [-6,\,4,\,-8,\,1\mid 1] + 2\cdot[3,\,-2,\,5,\,1\mid 7]=[0,\,0,\,2,\,3\mid 15].
  • Para R_{3}: [9,\,-6,\,19,\,1\mid 4] - 3\cdot[3,\,-2,\,5,\,1\mid 7]=[0,\,0,\,4,\,-2\mid -17].
  • Para R_{4}: [6,\,-4,\,-6,\,15\mid 12] - 2\cdot[3,\,-2,\,5,\,1\mid 7]=[0,\,0,\,-16,\,13\mid -2].
A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 3 & 15\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -2 & -17\\[4pt] 0 & 0 & -16 & 13 & -2 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora observe que nas linhas 2, 3 e 4 as colunas 1 e 2 já são zeros. O próximo pivô natural é na coluna 3, linha 2, cujo elemento é \,2. Vou zerar os elementos abaixo desse pivô na coluna 3:
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2} (porque 4 - 2\cdot 2 = 0),
  • R_{4}\leftarrow R_{4}+8R_{2} (porque -16 + 8\cdot 2 = 0).
Faço as contas:
  • Para R_{3}: [0,0,4,-2\mid -17] - 2\cdot[0,0,2,3\mid 15] = [0,0,0,-8\mid -47].
    (Cálculo do termo independente: -17 - 2\cdot 15 = -17 - 30 = -47.)
  • Para R_{4}: [0,0,-16,13\mid -2] + 8\cdot[0,0,2,3\mid 15] = [0,0,0,37\mid 118].
    (Cálculo do termo independente: -2 + 8\cdot 15 = -2 + 120 = 118.)
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 3 & 15\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -8 & -47\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 37 & 118 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora o próximo pivô aparece na linha 3, coluna 4: o elemento é -8. Vou zerar o elemento da mesma coluna na linha 4. Para zerar 37 usando -8, multiplico a linha 3 por \dfrac{37}{8} e somo a linha 4, isto é:
R_{4}\leftarrow R_{4} + \frac{37}{8}\,R_{3}.
Observação sobre o fator: \dfrac{37}{8}=4{,}625. Repare que 37 + \dfrac{37}{8}\cdot(-8)=37-37=0, como desejado.
Faço as contas para o termo independente:
118 + \frac{37}{8}\cdot(-47) =118 - \frac{37\cdot 47}{8}.
Calculo 37\cdot 47 = 1\,739. Então
118 - \frac{1\,739}{8} = \frac{118\cdot 8 - 1\,739}{8} = \frac{944 - 1\,739}{8} = \frac{-795}{8} = -99{,}375.
(Arredondo/mostro com três casas decimais: -99{,}375.)
A linha 4 passa a ser [0\;0\;0\;0\mid -99{,}375]. Assim a matriz é
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 3 & 15\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -8 & -47\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & -99{,}375 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação do que apareceu: a última linha corresponde à equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}+0\cdot x_{4} = -99{,}375,
ou seja, 0 = -99{,}375. Isso é uma contradição impossível. Pelo princípio da eliminação de Gauss, se ao escalonar surge uma linha com todas as coeficientes zero e termo independente diferente de zero, o sistema é inconsistente — não existe vetor (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.
Portanto não faz sentido continuar tentativa de “resolver” por retro-substituição: já está estabelecido que o sistema não admite solução.

Resposta

O sistema é incompatível; não existe solução.

Exercícios relacionados