Analise os sistemas lineares abaixo, com relação ao número de soluções, utilizando o método da eliminação de Gaus para resolver (use três casas decimais): \left\{\begin{array}{c}3 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}+x_{4}=7 \\\\ -6 x_{1}+4 x_{2}-8 x_{3}+x_{4}=1 \\\\ 9 x_{1}-6 x_{2}+19 x_{3}+x_{4}=4 \\\\ 6 x_{1}-4 x_{2}-6 x_{3}+15 x_{4}=12\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que eu analise o sistema linear quanto ao número de soluções e resolva usando eliminação de Gauss (com números apresentados com três casas decimais). O sistema dado é:
\begin{aligned} &\text{Quatro equações e quatro incógnitas }(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).\\\ &\text{É solicitado o estudo do número de soluções e a resolução pelo método de eliminação (Gauss).} \end{aligned}çõóÉúçõçãéçã]
Passo 2
Vou transformar o sistema na matriz aumentada (cada número da equação entra na linha correspondente; a última coluna é o termo independente):
Explicando rapidamente (sem pular etapas): cada linha da matriz corresponde a uma equação; a ideia da eliminação de Gauss é usar operações elementares sobre linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma forma triangular (ou escalonada). Se no final aparecer uma linha com todos os coeficientes zero e termo independente diferente de zero, o sistema é inconsistente (sem solução). Se aparecer variável livre, há infinitas soluções, etc.]
Passo 3
Começo com o pivô na posição (1,1), que vale \,3. Vou zerar os elementos abaixo desse pivô (coluna 1) aplicando operações sobre as linhas:
Agora observe que nas linhas 2, 3 e 4 as colunas 1 e 2 já são zeros. O próximo pivô natural é na coluna 3, linha 2, cujo elemento é \,2. Vou zerar os elementos abaixo desse pivô na coluna 3:
Agora o próximo pivô aparece na linha 3, coluna 4: o elemento é -8. Vou zerar o elemento da mesma coluna na linha 4. Para zerar 37 usando -8, multiplico a linha 3 por \dfrac{37}{8} e somo a linha 4, isto é:
R_{4}\leftarrow R_{4} + \frac{37}{8}\,R_{3}.
Observação sobre o fator: \dfrac{37}{8}=4{,}625. Repare que 37 + \dfrac{37}{8}\cdot(-8)=37-37=0, como desejado.
ou seja, 0 = -99{,}375. Isso é uma contradição impossível. Pelo princípio da eliminação de Gauss, se ao escalonar surge uma linha com todas as coeficientes zero e termo independente diferente de zero, o sistema é inconsistente — não existe vetor (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.
Portanto não faz sentido continuar tentativa de “resolver” por retro-substituição: já está estabelecido que o sistema não admite solução.