Use o método de eliminação de gauss com pivoteamento parcial para encontrar a solução do seguinte sistema linear. Utilize no máximo 3 casas decimais para representar números reais e cálcule o erro da solução encontrada.
O enunciado pede que eu encontre a solução do sistema linear abaixo usando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, representando números reais com no máximo 3 casas decimais, e que eu calcule o erro da solução encontrada. As equações dadas são:
Objetivos claros: (i) aplicar eliminação de Gauss com pivoteamento parcial (trocar linhas para usar o maior pivô em valor absoluto em cada coluna), (ii) manter números com até 3 casas decimais quando representar resultados, (iii) calcular o erro da solução (vou usar o resíduo \mathbf{r}=b-A\hat{x} e suas normas).]
Passo 2
Breve explicação do método (passo de ensino): pivoteamento parcial significa, em cada coluna de eliminação, escolher como pivô a entrada com maior valor absoluto entre as linhas ainda não eliminadas e, se necessário, trocar a linha do pivô com a linha atual. Para zerar uma entrada a_{ij} abaixo do pivô a_{jj} usamos o multiplicador
Esse processo elimina entradas abaixo do pivô e, ao repetir para cada coluna, obtemos uma matriz triangular superior que resolvemos por substituição regressiva. Vou aplicar isso passo a passo ao sistema, mostrando multiplicadores e as linhas novas arredondadas a 3 casas decimais.
Passo 3
Primeira coluna (coluna 1): procurar o maior valor absoluto entre as linhas 1…4 na coluna 1. Os valores absolutos são |-3|=3,\;|7|=7,\;|{-2}|=2,\;|1|=1. O maior é 7 (linha 2). Então faço a troca linha 1 ↔ linha 2. A matriz ampliada passa a ser
Aplicando \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{i1}\cdot\text{linha}_1 e arredondando cada entrada resultante com no máximo 3 casas decimais, obtemos a matriz ampliada:
Observação didática: as entradas exatamente zero são (0) em aritmética exata; por conveniência numérica e devido ao arredondamento eu mostro como 0{,}000. (Os valores apresentados são equivalentes às frações exatas que surgem no cálculo; arredondei a 3 casas decimais conforme pedido.)]
Passo 4
Segunda coluna (coluna 2): entre as linhas 2…4, os valores absolutos em coluna 2 são aproximadamente 7{,}571,\;2{,}714,\;1{,}857. O maior é 7{,}571 (linha 2), então não há troca. Pivot a_{22}\approx 7{,}571.
Calculo os multiplicadores para zerar abaixo do pivô:
Didática: ao dividir uma linha por uma constante e subtrair múltiplos de outra, as entradas da coluna 1 e 2 ficaram exatamente nulas em aritmética exata (aqui aparecem como 0 devido a cancelamentos exatos antes do arredondamento).]
Passo 5
Terceira coluna (coluna 3): entre linhas 3 e 4 os valores de coluna 3 são 1{,}982 e 5{,}434. O maior é 5{,}434 (linha 4), então eu troco linha 3 ↔ linha 4 para manter estabilidade numérica. A matriz passa a ser
Didática: numérica e simbolicamente, repara que a última linha ficou da forma a_{44}x_4=b_4 com a_{44} e b_4 muito próximos — de fato, por cálculos exatos (sem arredondamento), ambos são exatamente iguais, o que vai levar a x_4=1. Vou mostrar tal substituição regressiva de forma clara a seguir.]
Passo 6
Substituição regressiva (ensino e cálculo):
Começo pela última equação (linha 4) que agora tem aproximadamente
4{,}364\,x_{4}=4{,}364.
Dividindo ambos os lados por 4{,}364 obtemos
x_{4}=1{,}000\quad(\text{arredondado a 3 casas: }1{,}000).
Subo para a linha 3 (terceira equação), que é aproximadamente
Didática: note que, se fizermos a eliminação e as contas em aritmética exata (frações), os cancelamentos mostram exatamente que x_i=1 para todo i. Aqui mostrei os passos arredondados a 3 casas, mas o resultado final é exatamente o vetor de uns.
Passo 7
Cálculo do erro (resíduo) e interpretação (ensino): o erro que vou calcular é o vetor resíduo
\mathbf{r}=b-A\hat{x},
onde \hat{x} é a solução encontrada. Se \hat{x} for exata, \mathbf{r} será o vetor nulo. Calculo o produto A\hat{x} com \hat{x}=(1,1,1,1)^{T}:
Primeira equação: -3\cdot1 +8\cdot1 -2\cdot1 +3\cdot1 = -3+8-2+3 = 6.
Interpretação: o erro (resíduo) é zero, ou seja, a solução encontrada resolve exatamente o sistema. Isso confirma que o vetor (1,1,1,1) é solução exata.