Use o método de eliminação de gauss com pivoteamento parcial para encontrar a solução do seguinte sistema linear. Utilize no máximo 3 casas decimais para representar números reais e cálcule o erro da solução encontrada.
\left\{\begin{aligned} -3 x_{1}+8 x_{2}-2 x_{3}+3 x_{4}= & 6 \\\\ 7 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}= & 11 \\\\ -2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+6 x_{4}= & 8 \\\ x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}+2 x_{4}= & 7 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a solução do sistema linear abaixo usando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, representando números reais com no máximo 3 casas decimais, e que eu calcule o erro da solução encontrada. As equações dadas são:
\begin{cases} -3x_{1}+8x_{2}-2x_{3}+3x_{4}=6,\\[4pt] 7x_{1}-x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=11,\\[4pt] -2x_{1}+3x_{2}+x_{3}+6x_{4}=8,\\[4pt] x_{1}-2x_{2}+6x_{3}+2x_{4}=7. \end{cases}
Dados relevantes que extraí do enunciado:
\text{matriz ampliada inicial }[A|b]= \left[\begin{array}{rrrr|r} -3 & 8 & -2 & 3 & 6\\[2pt] 7 & -1 & 2 & 3 & 11\\[2pt] -2 & 3 & 1 & 6 & 8\\[2pt] 1 & -2 & 6 & 2 & 7 \end{array}\right]
Objetivos claros: (i) aplicar eliminação de Gauss com pivoteamento parcial (trocar linhas para usar o maior pivô em valor absoluto em cada coluna), (ii) manter números com até 3 casas decimais quando representar resultados, (iii) calcular o erro da solução (vou usar o resíduo \mathbf{r}=b-A\hat{x} e suas normas).]

Passo 2

Breve explicação do método (passo de ensino): pivoteamento parcial significa, em cada coluna de eliminação, escolher como pivô a entrada com maior valor absoluto entre as linhas ainda não eliminadas e, se necessário, trocar a linha do pivô com a linha atual. Para zerar uma entrada a_{ij} abaixo do pivô a_{jj} usamos o multiplicador
m_{ij}=\frac{a_{ij}}{a_{jj}},
e atualizamos a linha i por
\text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{ij}\cdot\text{linha}_j.
Esse processo elimina entradas abaixo do pivô e, ao repetir para cada coluna, obtemos uma matriz triangular superior que resolvemos por substituição regressiva. Vou aplicar isso passo a passo ao sistema, mostrando multiplicadores e as linhas novas arredondadas a 3 casas decimais.

Passo 3

Primeira coluna (coluna 1): procurar o maior valor absoluto entre as linhas 1…4 na coluna 1. Os valores absolutos são |-3|=3,\;|7|=7,\;|{-2}|=2,\;|1|=1. O maior é 7 (linha 2). Então faço a troca linha 1 ↔ linha 2. A matriz ampliada passa a ser
\left[\begin{array}{rrrr|r} 7 & -1 & 2 & 3 & 11\\[2pt] -3 & 8 & -2 & 3 & 6\\[2pt] -2 & 3 & 1 & 6 & 8\\[2pt] 1 & -2 & 6 & 2 & 7 \end{array}\right].
Agora calculo os multiplicadores para zerar as entradas abaixo do pivô a_{11}=7:
m_{21}=\frac{-3}{7}\approx -0{,}429,\qquad m_{31}=\frac{-2}{7}\approx -0{,}286,\qquad m_{41}=\frac{1}{7}\approx 0{,}143.
Aplicando \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{i1}\cdot\text{linha}_1 e arredondando cada entrada resultante com no máximo 3 casas decimais, obtemos a matriz ampliada:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 7 & -1 & 2 & 3 & 11\\[2pt] 0{,}000^{(*)} & 7{,}571 & -1{,}143 & 4{,}286 & 10{,}714\\[2pt] 0{,}000^{(*)} & 2{,}714 & 1{,}571 & 6{,}857 & 11{,}143\\[2pt] 0{,}000^{(*)} & -1{,}857 & 5{,}714 & 1{,}571 & 5{,}429 \end{array}\right]
Observação didática: as entradas exatamente zero são (0) em aritmética exata; por conveniência numérica e devido ao arredondamento eu mostro como 0{,}000. (Os valores apresentados são equivalentes às frações exatas que surgem no cálculo; arredondei a 3 casas decimais conforme pedido.)]

Passo 4

Segunda coluna (coluna 2): entre as linhas 2…4, os valores absolutos em coluna 2 são aproximadamente 7{,}571,\;2{,}714,\;1{,}857. O maior é 7{,}571 (linha 2), então não há troca. Pivot a_{22}\approx 7{,}571.
Calculo os multiplicadores para zerar abaixo do pivô:
m_{32}=\frac{2{,}714}{7{,}571}\approx 0{,}359,\qquad m_{42}=\frac{-1{,}857}{7{,}571}\approx -0{,}245.
Faço as operações \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{i2}\cdot\text{linha}_2 para i=3,4 e arredondo a 3 casas:
  • Linha 3 nova (aprox.):
[0{,}000,\;0{,}000,\;1{,}982,\;5{,}321\;|\;7{,}301].
  • Linha 4 nova (aprox.):
[0{,}000,\;0{,}000,\;5{,}434,\;2{,}622\;|\;8{,}056].
Agora a matriz ampliada (com entradas a 3 decimais) é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 7 & -1 & 2 & 3 & 11\\[2pt] 0 & 7{,}571 & -1{,}143 & 4{,}286 & 10{,}714\\[2pt] 0 & 0 & 1{,}982 & 5{,}321 & 7{,}301\\[2pt] 0 & 0 & 5{,}434 & 2{,}622 & 8{,}056 \end{array}\right].
Didática: ao dividir uma linha por uma constante e subtrair múltiplos de outra, as entradas da coluna 1 e 2 ficaram exatamente nulas em aritmética exata (aqui aparecem como 0 devido a cancelamentos exatos antes do arredondamento).]

Passo 5

Terceira coluna (coluna 3): entre linhas 3 e 4 os valores de coluna 3 são 1{,}982 e 5{,}434. O maior é 5{,}434 (linha 4), então eu troco linha 3 ↔ linha 4 para manter estabilidade numérica. A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{rrrr|r} 7 & -1 & 2 & 3 & 11\\[2pt] 0 & 7{,}571 & -1{,}143 & 4{,}286 & 10{,}714\\[2pt] 0 & 0 & 5{,}434 & 2{,}622 & 8{,}056\\[2pt] 0 & 0 & 1{,}982 & 5{,}321 & 7{,}301 \end{array}\right].
Agora o pivô é a_{33}\approx 5{,}434. Calculo o multiplicador para zerar a entrada abaixo:
m_{43}=\frac{1{,}982}{5{,}434}\approx 0{,}365.
Faço \text{linha}_4 \leftarrow \text{linha}_4 - m_{43}\cdot\text{linha}_3. Após a operação (arredondando a 3 casas), a linha 4 fica
[0,\;0,\;0,\;4{,}364\;|\;4{,}364].
Portanto a matriz triangular superior é (valores com 3 casas)
\left[\begin{array}{rrrr|r} 7 & -1 & 2 & 3 & 11\\[2pt] 0 & 7{,}571 & -1{,}143 & 4{,}286 & 10{,}714\\[2pt] 0 & 0 & 5{,}434 & 2{,}622 & 8{,}056\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 4{,}364 & 4{,}364 \end{array}\right].
Didática: numérica e simbolicamente, repara que a última linha ficou da forma a_{44}x_4=b_4 com a_{44} e b_4 muito próximos — de fato, por cálculos exatos (sem arredondamento), ambos são exatamente iguais, o que vai levar a x_4=1. Vou mostrar tal substituição regressiva de forma clara a seguir.]

Passo 6

Substituição regressiva (ensino e cálculo):
Começo pela última equação (linha 4) que agora tem aproximadamente
4{,}364\,x_{4}=4{,}364.
Dividindo ambos os lados por 4{,}364 obtemos
x_{4}=1{,}000\quad(\text{arredondado a 3 casas: }1{,}000).
Subo para a linha 3 (terceira equação), que é aproximadamente
5{,}434\,x_{3}+2{,}622\,x_{4}=8{,}056.
Substituindo x_{4}=1 temos
5{,}434\,x_{3}+2{,}622\cdot 1 =8{,}056 \quad\Rightarrow\quad 5{,}434\,x_{3}=8{,}056-2{,}622=5{,}434.
Logo
x_{3}=1{,}000.
Linha 2 (segunda equação):
7{,}571\,x_{2}-1{,}143\,x_{3}+4{,}286\,x_{4}=10{,}714.
Substituindo x_{3}=1 e x_{4}=1,
7{,}571\,x_{2}-1{,}143+4{,}286=10{,}714 \quad\Rightarrow\quad 7{,}571\,x_{2}=10{,}714-3{,}143=7{,}571,
portanto
x_{2}=1{,}000.
Linha 1 (primeira equação):
7\,x_{1}-1\,x_{2}+2\,x_{3}+3\,x_{4}=11.
Substituindo x_{2}=x_{3}=x_{4}=1,
7\,x_{1}-1+2+3=11 \quad\Rightarrow\quad 7\,x_{1}=7 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=1{,}000.
Portanto, a solução obtida é
x_{1}=1,\qquad x_{2}=1,\qquad x_{3}=1,\qquad x_{4}=1.
Didática: note que, se fizermos a eliminação e as contas em aritmética exata (frações), os cancelamentos mostram exatamente que x_i=1 para todo i. Aqui mostrei os passos arredondados a 3 casas, mas o resultado final é exatamente o vetor de uns.

Passo 7

Cálculo do erro (resíduo) e interpretação (ensino): o erro que vou calcular é o vetor resíduo
\mathbf{r}=b-A\hat{x},
onde \hat{x} é a solução encontrada. Se \hat{x} for exata, \mathbf{r} será o vetor nulo. Calculo o produto A\hat{x} com \hat{x}=(1,1,1,1)^{T}:
  • Primeira equação: -3\cdot1 +8\cdot1 -2\cdot1 +3\cdot1 = -3+8-2+3 = 6.
  • Segunda: 7-1+2+3=11.
  • Terceira: -2+3+1+6=8.
  • Quarta: 1-2+6+2=7.
Portanto A\hat{x}=b exatamente, e o resíduo é
\mathbf{r}=b-A\hat{x}=\mathbf{0}=(0,0,0,0)^{T}.
Normas do resíduo (medidas de erro):
\|\mathbf{r}\|_{\infty}=0,\qquad \|\mathbf{r}\|_{2}=0.
Interpretação: o erro (resíduo) é zero, ou seja, a solução encontrada resolve exatamente o sistema. Isso confirma que o vetor (1,1,1,1) é solução exata.

Resposta

\;x_{1}=1,\;x_{2}=1,\;x_{3}=1,\;x_{4}=1
\mathbf{r}=b-A\hat{x}=(0,0,0,0)^{T},\\ \|\mathbf{r}\|_{\infty}=0

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