Interpretação: \det(A)=0 significa que A é singular (não inversível). Consequência direta: o sistema \mathrm{Ax}=\mathrm{b} não tem uma única solução determinada por x=A^{-1}b. Pode ocorrer ou nenhuma solução (inconsistente) ou infinitas soluções (consistente com grau de liberdade). Para decidir qual dos dois casos, precisamos verificar a consistência — isto é, comparar a classificação (posto) de A e do sistema ampliado [A|b]. Vou fazer isso usando Eliminação Gaussiana.]
Explico as operações elementares que vou usar: substituir uma linha por ela menos um múltiplo de outra linha (operação do tipo R_i\leftarrow R_i - kR_j) não altera o posto nem o determinante (quando considerada só na matriz A). Essa operação é a base da eliminação.]
Passo 4
Eliminação: quero zerar as entradas abaixo do pivô a_{11}=1.
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Cálculo elemento a elemento:
Conclusão sobre postos: a matriz A reduzida tem duas linhas não nulas (duas pivôs), então \operatorname{rank}(A)=2. A matriz aumentada também tem terceira linha toda zero, então \operatorname{rank}([A|b])=2. Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=2<3 (número de incógnitas), o sistema é consistente e tem infinitas soluções (um grau de liberdade).]
Passo 6
Agora resolvo explicitamente as equações equivalentes obtidas na forma triangular:
As duas equações não-nulas (das duas primeiras linhas) são: