Determinar se a série a seguir converge ou diverge, se convergir, calcule sua soma,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa série infinita:
Nossa missão é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito quando somamos todos os termos) ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular sua soma. Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas e as fórmulas de soma dessas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos da série para deixá-los mais fáceis de trabalhar. Vamos reescrever cada expressão:
Então, nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos separar essa série em duas séries geométricas distintas, assim fica mais fácil analisar cada uma:
As séries geométricas têm a forma geral:
Onde:
- $ a $ é o primeiro termo,
- $ r $ é a razão da série.
Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão $ |r| < 1 $. Se convergir, sua soma é dada por:
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das duas séries:
Primeira série:
Aqui, $ a = \frac{1}{2} $ e $ r = \frac{1}{2} $. Como $ |r| = \frac{1}{2} < 1 $, a série converge.
Calculando a soma:
Segunda série:
Aqui, $ a = \frac{1}{3} $ e $ r = \frac{1}{3} $. Como $ |r| = \frac{1}{3} < 1 $, essa série também converge.
Calculando a soma:
Passo 5
Agora, vamos somar $ S_1 $ e $ S_2 $ para encontrar a soma total da série original:
Resposta
A série converge e sua soma é $ \frac{71}{18} $.