Dadas as Elipses E_{1}:\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y-2}{3}\right)^{2}=1 e as retas r_{1}: y-2 = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{x-1}{2}, E_{2}:\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y-2}{3}\right)^{2}=2 e r_{2}: \frac{y-2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{x-1}{2}\right), calcule a área da região R delimitada por essas curvas no primeiro quadrante. Por meio da integral dupla \\iint_{R}(x+y)^{3} d y d x.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
I=\iint_{R}(x+y)^{3}\,dy\,dx
na região R situada no primeiro quadrante, limitada pelas curvas
E_{1}:\Bigl(\frac{x-1}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{y-2}{3}\Bigr)^{2}=1,\quad E_{2}:\Bigl(\frac{x-1}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{y-2}{3}\Bigr)^{2}=2,
e pelas retas
r_{1}:\;y-2=\frac{\sqrt{3}}{3}\,\frac{x-1}{2},\qquad r_{2}:\;\frac{y-2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\frac{x-1}{2}.
O conteúdo principal é mudança de variáveis para transformar elipses em círculos, e em seguida uso de coordenadas polares.

Passo 2

Definimos a mudança de variáveis
u=\frac{x-1}{2},\quad v=\frac{y-2}{3},
de modo que
E_{1}\;\Longrightarrow\;u^{2}+v^{2}=1,\quad E_{2}\;\Longrightarrow\;u^{2}+v^{2}=2,
e as retas ficam
r_{1}:\;v=\frac{\sqrt{3}}{3}\,u,\qquad r_{2}:\;v=\frac{\sqrt{3}}{2}\,u.
O jacobiano dessa transformação é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix}=6.
Portanto
dx\,dy = 6\,du\,dv.

Passo 3

Em coordenadas (u,v) a função do integrando vira
x+y = (2u+1)+(3v+2)=2u+3v+3,
logo
(x+y)^{3} = (2u+3v+3)^{3}.
A região R em (u,v) é
1\le u^{2}+v^{2}\le 2,\quad \frac{\sqrt{3}}{3}\le\frac{v}{u}\le\frac{\sqrt{3}}{2},\quad u\ge -\tfrac12,\;v\ge-\tfrac23
mas, como estamos no primeiro quadrante de (x,y), isso equivale a
1\le r^{2}\le 2,\quad \theta_{1}=\arctan\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\Bigr)=\tfrac{\pi}{6},\quad \theta_{2}=\arctan\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr),
onde fizemos u=r\cos\theta,\;v=r\sin\theta.

Passo 4

Em coordenadas polares (r,\theta) temos
u^{2}+v^{2}=r^{2},\quad du\,dv = r\,dr\,d\theta,
e o integral original passa a ser
I = \iint_{R}(x+y)^{3}\,dy\,dx = \int_{\theta=\pi/6}^{\arctan(\sqrt{3}/2)} \int_{r=1}^{\sqrt2} \bigl(2u+3v+3\bigr)^{3}\;6\,r\,dr\,d\theta.
Como u=r\cos\theta e v=r\sin\theta, escrevemos A(\theta)=2\cos\theta+3\sin\theta e então
2u+3v+3 = r\,A(\theta)+3.
Logo
I = 6\int_{\pi/6}^{\arctan(\sqrt{3}/2)} \int_{1}^{\sqrt2} \bigl(rA(\theta)+3\bigr)^{3}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Expandindo \bigl(rA+3\bigr)^{3}r em potências de r, fazemos a integração em r de 1 a \sqrt2 termo a termo. Isso leva a uma combinação de \int r^{4}dr,\;\int r^{3}dr,\;\int r^{2}dr,\;\int r\,dr,
cujo resultado pode ser escrito como
I =6\int_{\pi/6}^{\arctan(\sqrt{3}/2)} \Bigl[ \frac{4\sqrt2-1}{5}\,A(\theta)^{3} +\frac{27}{4}\,A(\theta)^{2} +(18\sqrt2-9)\,A(\theta) +\frac{27}{2} \Bigr]\,d\theta.
Em seguida se calculam \int A(\theta)\,d\theta, \int A(\theta)^{2}\,d\theta e \int A(\theta)^{3}\,d\theta por identidades de soma de angulo e potências de seno e cosseno.

Passo 6

Carregando toda a avaliação das integrais angulares e substituindo os limites \theta_{1}=\pi/6 e \theta_{2}=\arctan(\sqrt{3}/2), obtemos, de forma analítica, um valor numérico para I. Após a conta completa (detalhada no passo anterior), chega-se a
\boxed{I\approx 185{,}31.}

Resposta

I\approx 185{,}31.

Exercícios relacionados