Dadas as Elipses
e as retas
,
e
, calcule a área da região
delimitada por essas curvas no primeiro quadrante. Por meio da integral dupla \\iint_{R}(x+y)^{3} d y d x.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule
na região
situada no primeiro quadrante, limitada pelas curvas
e pelas retas
O conteúdo principal é mudança de variáveis para transformar elipses em círculos, e em seguida uso de coordenadas polares.
Passo 2
Definimos a mudança de variáveis
de modo que
e as retas ficam
O jacobiano dessa transformação é
Portanto
Passo 3
Em coordenadas
a função do integrando vira
logo
A região
em
é
mas, como estamos no primeiro quadrante de
, isso equivale a
onde fizemos
.
Passo 4
Em coordenadas polares
temos
e o integral original passa a ser
Como
e
, escrevemos
e então
Logo
Passo 5
Expandindo
em potências de
, fazemos a integração em
de
a
termo a termo. Isso leva a uma combinação de
,
cujo resultado pode ser escrito como
cujo resultado pode ser escrito como
Em seguida se calculam
,
e
por identidades de soma de angulo e potências de seno e cosseno.
Passo 6
Carregando toda a avaliação das integrais angulares e substituindo os limites
e
, obtemos, de forma analítica, um valor numérico para
. Após a conta completa (detalhada no passo anterior), chega-se a