Analise o tipo de convergência de sumn=1^infty(-1)^n n^2+1n^3.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^nn^2+1n^3
Aqui vamos usar dois testes: o teste de convergência absoluta (comparação com séries p) e o teste de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Estudamos primeiro a convergência absoluta, isto é,
sumn=1^infty|(-1)^nn^2+1n^3| =sumn=1^inftyn^2+1n^3 =sumn=1^inftyl(1n+1n^3r)
Sabemos que sum 1/n diverge (série harmônica, p=1) e sum1/n^3 converge ( p=3>1), mas a soma diverge porque a parte 1/n domina. Logo a série não converge absolutamente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz (série alternante). Definimos
bn=n^2+1n^3>0
  1. Limite:
limntoinftybn =limntoinftyl(1n+1n^3r)=0
  1. Monotonicidade: considere f(x)=(x^2+1)/x^3 para x>=1. Calcula-se
f'(x)=(2x)x^3-(x^2+1),3x^2x^6 =2x^4-3x^4-3x^2x^6 =-x^4+3x^2x^6<0
para todo x>=1. Assim bn é decrescente a partir de n=1.
Pelo teste de Leibniz, a série alternante converge.

Passo 4

Concluímos que a série converge pelo teste de Leibniz (é convergente), mas não converge absolutamente (a soma dos módulos diverge). Portanto trata-se de convergência condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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