O enunciado pede para classificar a convergência da série
Aqui vamos usar dois testes: o teste de convergência absoluta (comparação com séries ) e o teste de Leibniz para séries alternantes.
Passo 2
Estudamos primeiro a convergência absoluta, isto é,
Sabemos que sum 1/n diverge (série harmônica, p=1) e sum1/n^3 converge (p=3>1), mas a soma diverge porque a parte 1/n domina. Logo a série não converge absolutamente.
Passo 3
Agora aplicamos o teste de Leibniz (série alternante). Definimos
bn=n^2+1n^3>0
Limite:
limntoinftybn =limntoinftyl(1n+1n^3r)=0
Monotonicidade: considere f(x)=(x^2+1)/x^3 para x>=1. Calcula-se
para todo x>=1. Assim bn é decrescente a partir de n=1.
Pelo teste de Leibniz, a série alternante converge.
Passo 4
Concluímos que a série converge pelo teste de Leibniz (é convergente), mas não converge absolutamente (a soma dos módulos diverge). Portanto trata-se de convergência condicional.